Calculs de fonctions dérivées

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes:
$f(x)=3x^5-\dfrac{5x^2}{2}$ ;    $g(x)=x^2\sqrt{x}$ ;    $h(x)=\dfrac{3}{x+1}$ ;    $k(x)=\dfrac{x+3}{2x+1}$

Correction
$f(x)=3x^5-\dfrac52x^2$ donc $f'(x)=3\tm5x^4-\dfrac52\tm2x=15x^4-5x$
$g(x)=x^2\sqrt{x}$. On a $g=uv$ avec $u(x)=x^2$ donc $u'(x)=2x$, et $v(x)=\sqrt{x}$ donc $v'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x}}$.
Donc $g'=u'v+uv'$, soit $g'(x)=2x\sqrt{x}+x^2\dfrac1{2\sqrt{x}}$ ou encore, sur le même dénominateur $g'(x)=\dfrac{5x^2}{2\sqrt{x}}$.
$h(x)=\dfrac{3}{x+1}=3\tm\dfrac1{x+1}$. On a $h=3\dfrac1u$ avec $u(x)=x+1$ donc $u'(x)=1$.
Donc $h'=3\dfrac{-u'}{u^2}$ soit $h'(x)=3\dfrac{-1}{(x+1)^2}=\dfrac{-3}{(x+1)^2}$.
$k(x)=\dfrac{x+3}{2x+1}$. On a $k=\dfrac{u}v$ avec $u(x)=x+3$ donc $u'(x)=1$ et $v(x)=2x+1$ donc $v'(x)=2$.
Donc, $k'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ soit $k'(x)=\dfrac{1(2x+1)-(x+3)2}{(2x+1)^2}=\dfrac{-5}{(2x+1)^2}$

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Tag:Fonctions et dérivées

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