Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices d'arithmétique},
pdftitle={Exercices - Arithmétique: division euclidienne et congruences},
pdfkeywords={exercices, Mathématiques, maths expertes, terminale générale,
arithmétique, division euclidienne, congruence}
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\noindent
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% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
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\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Arithmétique \& congruences - Exercices}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-maths-expertes/}{ xymaths - Maths expertes}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-.6cm}
\hfill{\Large\bgmp{12cm}\ct{\bf Arithmétique}\bf Division euclidienne - Congruences\\\ct{\bf Exercices}\enmp}
\hfill\bgmp{5cm} Mathématiques expertes\\Terminale générale\enmp
\bgex \textbf{Divisiblité par 3 et par 9}\\
Les nombres suivants sont-ils divisibles par 3 ? par 9 ? par 6 ? par 18 ?
27
\quad-\quad
129
\quad-\quad
567
\quad-\quad
837
\quad-\quad
22134
\quad-\quad
1556
\quad-\quad
50166
\enex
\bgex\textbf{Sur la parité}
\bgen[a)]
\item Quelle est la parité du carré d'un nombre pair ? du carré d'un nombre impair ?
\item Quelle est la parité du produit de deux nombres pairs ? de deux nombres impairs ?
\item Quelle est la parité de la somme de deux nombres pairs ? de deux nombres impairs ?
\item \'Enoncer une règle sur la parité du produit de deux entiers et une règle sur la parité de la somme de deux entiers.
\enen
\enex
\bgex\textbf{Sur les puissances}\\
\'Ecrire sous la forme de produits et puissances, plus simples:
$\lp5^2\rp^6$ \ - \ $\lp2\tm3^2\rp^3$ \ - \ $\lp2^{2n+1}\rp^3$
\ - \ $\lp\dfrac{5^2}{3}\rp^4$\\
Factoriser: $2^{n+3}-2^n$ \ - \ $3^{2n+1}-3^{n+1}$ \ - \ $4^{n+1}-2^{n+2}$
\enex
\bgex
Je dispose de 100 chaussettes, 50 noires et 50 rouges, toutes mélangées en vrac.\\
Avoir une chaussette rouge à un pied et une noire à l'autre est particulièrement moche.\\
Combien dois-je en tirer, au minimum, pour \^etre s\^ur d'avoir une paire de chaussettes de la m\^eme couleur ?
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item Donner les éventuels diviseurs parmi 2, 3, 4, 5, 9 10 des nombres suivants:\\
20 \ - \ 54 \ - \ 126 \ - \ 1932 \ - \ - \ 2020 \ - \ 2040 \ - \ 10\,004
\item Donner \ul{tous} les diviseurs de:
20 \ - \ 36 \ - \ 54 \ - 147
\enen
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item Déterminer tous les couples d'entiers naturels $(x;y)$ tels que $x^2-2xy=15$
\item Déterminer tous les couples d'entiers naturels $(x;y)$ tels que $4x=20+2xy$
\enen
\enex
\bgex
Déterminer, de deux manières différentes, les entiers relatifs $n$ tels que $(n-3)$ divise $(n+5)$.
\bgen[a)]
\item en revenant à la définition de la divisibilité
\item en remarquant que $(n-3)$ divise $(n-3)$ et en faisant intervenir une combinaison linéaire judicieuse de $(n-3)$ et $(n+5)$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n$ a-t-on $(n+8)$ divisible par $n$ ?
\item Pour quelles valeurs de l'entier relatif $n$ la fraction
$\dfrac{6n+12}{2n+1}$ est-elle un entier relatif ?
\enen
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item Montrer que si un entier naturel $d$ divise $(12n+7)$ et $(3n+1)$ alors il divise 3.
\item En déduire que la fraction $\dfrac{12n+7}{3n+1}$ est irréductible.
\enen
\enex
\bgex
Trouver les entiers naturels $n$ qui ont, dans la division euclidienne par 4, un quotient égal au reste.
\enex
\bgex
Trouver un entier naturel qui, dans la division euclidienne par 23 a pour reste 1, et dans la division euclidienne par 17 a le m\^eme quotient et pour reste 13.
\enex
\clearpage
\bgex
La différence de deux entiers naturels est 885.
Si on divise l'un par l'autre, le quotient est 29 et le reste 17.
Quels sont ces deux entiers ?
\enex
\bgex
Un entier naturel $n$ est tel que si on le divise par 5 le reste vaut 3 et si on le divise par 6 le reste augmente de 1 et le quotient diminue de 1.
Déterminer $n$.
\enex
\bgex
Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels. On sait que le reste dans la division euclidienne de $n$ par 11 vaut 8 et que le reste dans la division euclidienne de $p$ par 11 vaut 7.
Quel est le reste de $n+p$ dans la division euclidienne par 11 ?
\enex
\bgex
Donner le reste de la division euclidienne de $4^2$ par 15.
En déduire que que $4^{6n}-1$ est divisible par 15.
\enex
\bgex
Déterminer le reste de la division euclidienne de $39^{60}$ par 7.
\enex
\bgex
Déterminer le chiffre des unités dans l'écriture décimale de $3^{2023}$.
\enex
\bgex 1. Déterminer, suivant les valeurs de $n$, les restes possibles de $2^n$ dans la division par 9.
Résumer les résultats dans un tableau de congruence.
2. En déduire les entiers $n$ tels que $2^n-1$ est divisible par 9.
\enex
\bgex 1. Déterminer, suivant les valeurs de $n$, les restes possibles de $3^n$ dans la division par 7.
Résumer les résultats dans un tableau de congruence.
2. En déduire les entiers $n$ tels que $3^n-6$ est divisible par 7.
3. En déduire que $164^{2021}\equiv5 [7]$.
\enex
\bgex
Le 1er janvier 2012 était un dimanche.
\bgen
\item Calculer le nombre de jours séparant ce 1er janvier 2012 du 1er janvier 2019.\\
En déduire quel était le jour de la semaine du 1er janvier 2019.
\item Quel est le jour de la semaine du 1er janvier 2040 ?
\enen
\enex
\bgex
On appelle inverse de $x$ modulo 5, un entier $y$ tel que $xy\equiv1 [5]$.
\bgen
\item Déterminer un inverse modulo 5 de $x=2$.
\item Déterminer un inverse modulo 5 de $x=3$ et $x=4$.
\item Est-ce que $x=5$ admet un inverse ?
\item \`A l'aide d'un tableau de congruence, déterminer suivant la valeur de $x$ son inverse modulo 5.
\item Résoudre les équations \quad
$E_1: 2x\equiv 3 [5]$ \quad et $E_2: 9x\equiv 1 [5]$
\enen
\enex
\bgex
On décide de former des nombres dans le système décimal en écrivant de gauche à droite quatre chiffres consécutifs dans l'ordre croissant puis on permute les deux premiers chiffres de gauche.\\
Par exemple, à partir de 4567 on obtient 5467, ou encore à partir de 2345 on obtient 3245.
Démontrer que tous les entiers naturels ainsi obtenus sont multiples de 11.
\enex
\bgex
On considère un entier de 3 chiffres. On appelle renversé de cet entier le nombre qui s'écrit en échangeant les chiffres des centaines et des unités.\\
Par exemple, le renversé de 238 est 832.
Montrer que la différence entre un entier et son renversé est divisible par 9.
\enex
\bgex
On considère la suite $(u_n)$ d'entiers définie par $u_0=14$ et, pour
tout entier naturel $n$,
\[u_{n+1}=5u_n-6\]
\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$. Quelle conjecture
peut-on faire sur les deux derniers chiffres de $u_n$ ?
\item Montrer que, pour tout entier $n$, on a $u_{n+2}\equiv u_n
[4]$.\\ En déduire que, pour tout entier $n$, on a $u_{2n}\equiv 2
[4]$ et $u_{2n+1}\equiv0 [4]$.
\item
\bgen[a)]
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a
$2u_n=5^{n+2}+3$.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $2u_n\equiv 28
[100]$.
\item Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale
de $u_n$ suivant les valeurs de $n$. \enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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