Devoir de maths corrigé, Annale Bac, spé maths - 19 juin 2024
Terminale générale, spécialité mathématiques
Baccalauréat 12 mai 2022. Sujet posé en spécialité mathématiques, filière générale. Correction détaillée du sujet.
Exercice 1: Vrai ou faux, limites de suites et fonctions, et une équation différentielle
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Bac 2024 (4 points) Affirmation 1 : Vrai. On a, par croissances comparées,
et donc
, ce qui signifie exactement que l'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe
en
.
Affirmation 2 : Vrai. On dérive
avrc
donc
et
donc
.
Ainsi
soit
et alors on trouve que
![\[\begin{array}{ll}f'(x)+f(x)&=5e^{-x}-5xe^{-x}+5xe^{-x}\\&=5r^{-x}\enar\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapQCM/VraiFaux2024_c/12.png)
ce qui montre que
est bien une solution sur
de l'équation différentielle
.
Affirmation 3 : Faux. On ne peut pas conclure ici que la suite
converge. Pour appliquer le théorème des gendarmes il faudrait que les limites des suites encadrantes
et
soient égales.
Par exemple la suite
définie par
est encadrée par
et
qui convergent respectivement vers
et
.
Mais
ne converge par.
Affirmation 4 : Vrai.
Comme
est croissante, on a pour tout entier
,
![\[u_0\leqslant u_1\leqslant \dots \leqslant u_n\leqslant v_n\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapQCM/VraiFaux2024_c/28.png)
et de même, comme
est décroissante,
![\[w_0\geqslant w_1\geqslant \dots \geqslant w_n\geqslant v_n\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapQCM/VraiFaux2024_c/30.png)
et ainsi, en particulier,
![\[u_0 \leqslant v_n \leqslant w_0\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapQCM/VraiFaux2024_c/31.png)
Cacher la correction
- On considère la fonction
définie sur
par :
.
On notela courbe représentative de
dans un repère orthonormé.
Affirmation 1 :
L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe.
Affirmation 2 :
La fonctionest solution sur
de l'équation différentielle
.
- On considère les suites
et
, telles que, pour tout entier naturel
:
.
De plus, la suiteconverge vers -1 et la suite
converge vers 1.
Affirmation 3 :
La suiteconverge vers un nombre réel
appartenant à l'intervalle
.
On suppose de plus que la suiteest croissante et que la suite
est décroissante.
Affirmation 4 :
Pour tout entier naturel, on a alors :
.
Correction exercice 1
Bac 2024 (4 points) Affirmation 1 : Vrai. On a, par croissances comparées,




Affirmation 2 : Vrai. On dérive





Ainsi


![\[\begin{array}{ll}f'(x)+f(x)&=5e^{-x}-5xe^{-x}+5xe^{-x}\\&=5r^{-x}\enar\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapQCM/VraiFaux2024_c/12.png)
ce qui montre que



Affirmation 3 : Faux. On ne peut pas conclure ici que la suite



Par exemple la suite






Mais

Affirmation 4 : Vrai.
Comme


![\[u_0\leqslant u_1\leqslant \dots \leqslant u_n\leqslant v_n\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapQCM/VraiFaux2024_c/28.png)
et de même, comme

![\[w_0\geqslant w_1\geqslant \dots \geqslant w_n\geqslant v_n\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapQCM/VraiFaux2024_c/30.png)
et ainsi, en particulier,
![\[u_0 \leqslant v_n \leqslant w_0\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapQCM/VraiFaux2024_c/31.png)
Cacher la correction
Exercice 2: Arbre, loi binomiale, somme de variables et Bienaymé-Tchebychev
Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l'occasion de l'achat d'un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d'électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces.
Les achats sur internet représentent
des ventes, les achats en magasin d'électroménager
des ventes et ceux en grandes surfaces
des ventes.
Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle est de :
On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné.
On définit les événements suivants :
Si
est un événement quelconque, on notera
son événement contraire et
sa probabilité.
Bac 2024, 5 points
Cacher la correction
Les achats sur internet représentent



Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle est de :
-
pour les clients sur internet;
-
pour les clients en magasin d'électroménager ;
-
pour les clients en grande surface.
On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné.
On définit les événements suivants :
-
: « le client a effectué son achat sur internet» ;
-
: « le client a effectué son achat en magasin d'électroménager»;
-
: « le client a effectué son achat en grande surface»;
-
: « le client est satisfait du service clientèle».
Si



- Reproduire et compléter l'arbre suivant.
- Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle.
- Démontrer que
.
- Un client est satisfait du service clientèle. Quelle est la probabilité qu'il ait effectué son achat sur internet? On donnera un résultat arrondi à
près.
- Pour réaliser l'étude, l'agence doit contacter chaque jour 30 clients parmi les acheteurs du téléviseur. On suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des 30 clients à un tirage avec remise. On note
la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 30 clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.
- Justifier que
suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
- Déterminer la probabilité, arrondie à
près, qu'au moins 25 clients soient satisfaits dans un échantillon de 30 clients contactés sur une même journée.
- Justifier que
- En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l'échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à 0,99.
- Dans les deux questions a. et b. qui suivent, on ne s'intéresse qu'aux seuls achats sur internet.
Lorsqu'une commande de téléviseur est passée par un client, on considère que le temps de livraison du téléviseur est modélisé par une variable aléatoireégale à la somme de deux variables aléatoires
et
.
La variable aléatoiremodélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution. La variable aléatoire
modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis cette plateforme jusqu'au domicile du client.
On admet que les variables aléatoireset
sont indépendantes, et on donne :
- L'espérance
et la variance
;
- L'espérance
et la variance
.
- Déterminer l'espérance
et la variance
de la variable aléatoire
.
- Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la probabilité qu'il reçoive son téléviseur entre 5 et 9 jours après sa commande est supérieure ou égale à
.
- L'espérance
Correction exercice 2
Bac 2024, 5 points
-
- La probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle est la probabilité de l'intersection
- D'après la formule des probabilités totales, on a
- Sachant que le client est satisfait du service clientèle, la probabilité qu'il ait effectué son achat sur internet est
-
- On répète
fois l'expérience aléatoire: « contacter un client au hasard», de manière identique et indépendante (car le choix est assimilé à un tirage avec remise), et dont le succès est « le client est satisfait» de probabilité
.
Ainsi, la variable aléatoireégale au nombre de succès, c'est-à-dire au nombre de clients satisfaits dans l'échantillon, suit la loi binomiale de paramètre
et
.
- Avec la calculatrice, on trouve que
- On répète
- On cherche la taille minimale
de l'échantillon pour que
et
soit
et donc, en appliquant le logarithme qui est croissant, on obtient
et alors, en divisant par, on trouve donc
Il faut dnc contacter au moins 21 clients.
-
- Par linéarité de l'espérance on
et, comme les variables sont indépendantes, on a
- On cherche ici
Orest le nombre de jours entiers, et donc
On applique alors l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
soit ici, avec,
et alors
d'où
- Par linéarité de l'espérance on
Cacher la correction
Exercice 3: Un peu toute la géométrie dans l'espace avec un tétraèdre
L'espace est muni d'un repère orthonormé
.
On considère les points
,
et
.
(2,2)(3,1)(6,2)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,10){.08}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](2,2){.08}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](3,1){.08}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](6,2){.08}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,-2.5){.08}
\psline(0,10)(2,2)(3,1)(6,2)(0,10)(3,1)
\psline[linestyle=dotted](2,2)(6,2)
\psline[linestyle=dotted](2,2)(4.3,4.3)
\psline(4.3,4.3)(5.5,5.5)
%
\rput[r](-.1,-.7){\small$O$}
\rput[r](-.3,10.2){$C$}
\rput[r](-.3,-2.6){$D$}
\rput(1.3,2.1){$B$}
\rput(3,.4){$H$}
\rput(6.4,1.8){$A$}
%
\psline{->}(0,0)(.8,.8)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\rput(.5,-.4){$\vec{j}$}
\rput(-.4,.8){$\vec{k}$}
\rput(.7,1.2){$\vec{i}$}
\end{pspicture}
\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/exBac19062024/5.png)
Bac 2024, 5 points
Cacher la correction

On considère les points



(2,2)(3,1)(6,2)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,10){.08}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](2,2){.08}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](3,1){.08}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](6,2){.08}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,-2.5){.08}
\psline(0,10)(2,2)(3,1)(6,2)(0,10)(3,1)
\psline[linestyle=dotted](2,2)(6,2)
\psline[linestyle=dotted](2,2)(4.3,4.3)
\psline(4.3,4.3)(5.5,5.5)
%
\rput[r](-.1,-.7){\small$O$}
\rput[r](-.3,10.2){$C$}
\rput[r](-.3,-2.6){$D$}
\rput(1.3,2.1){$B$}
\rput(3,.4){$H$}
\rput(6.4,1.8){$A$}
%
\psline{->}(0,0)(.8,.8)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\rput(.5,-.4){$\vec{j}$}
\rput(-.4,.8){$\vec{k}$}
\rput(.7,1.2){$\vec{i}$}
\end{pspicture}
\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/exBac19062024/5.png)
-
- Montrer que
est un vecteur normal au plan (CAD).
- En déduire que le plan (CAD) a pour équation cartésienne :
.
- Montrer que
- On considère la droite
de représentation paramétrique
où
.
- On admet que la droite
et le plan (CAD) sont sécants en un point
. Justifier que les coordonnées de
sont
.
- Démontrer que le point
est le projeté orthogonal de
sur le plan (CAD).
- On admet que la droite
-
- Démontrer que le triangle
est rectangle en
.
- En déduire que l'aire du triangle
est égale à
.
- Démontrer que le triangle
-
- Démontrer que (CO) est la hauteur du tétraèdre
issue de
.
- En déduire le volume du tétraèdre
.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par:où
est l'aire d'une base et
la hauteur relative à cette base.
- Démontrer que (CO) est la hauteur du tétraèdre
- On admet que le triangle
est rectangle en
. Déduire des questions précédentes la distance du point
au plan
.
Correction exercice 3
Bac 2024, 5 points
-
- On a
et
et donc les produits scalaires
et
Ainsiest orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (CAD), et est donc normal au plan (CAD).
- Une équation cartésienne du plan (CAD) est donc de la forme
De plusest un point de ce plan, et donc
.
Ainsi, le plan (CAD) a bien pour équation cartésienne:.
- On a
- On considère la droite
de représentation paramétrique
où
.
- Soit
, alors il existe un réel
tel que
et de plus
.
Ainsi,
et on trouve alors les coordonnées avec ce paramètre
soit.
- On a
, c'est-à-dire que ces vecteurs sont colinéaires. En particulier, comme
est normal au plan (CAD),
est aussi normal à ce plan.
Comme ce plus, on en déduit que
est le projeté orthogonal de
sur le plan (CAD).
- Soit
-
- On peut soit calculer le produit scalaire
, ou alors utiliser le résultat précédent: comme
est le projeté orthogonal de
sur (CAD), on sait donc que
est orthogonale à toutes les droites du plan (CAD), en particulier orthogonale à (AH) puisque A et H appartiennent à (CAD).
- L'aire du triangle
est
avec
et
d'où
- On peut soit calculer le produit scalaire
-
-
car le plan (ABH) est le plan d'équation
.
De plus (OC) est bien orthogonale à ce plan, carest un vecteur normal au plan d'équation
. Ainsi, (CO) est bien la hauteur du tétraèdre
issue de
.
- Le volume du tétraèdre
est
-
- En calculant le même volume d'une autre façon, on a
oùest la distance recherchée du point H au plan (ABC), et
avecet
d'où
et donc
d'où
Cacher la correction
Exercice 4: Fonction logarithme: variations, limites, convexité et intégrale: calcul de l'aire entre deux courbes
Partie A : étude de la fonction

La fonction

![$] 0 ;+\infty\left[\right.$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/exBac19062024/3.png)



![$] 0 ;+\infty\left[\right.$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/exBac19062024/7.png)


-
- Déterminer, en justifiant, les limites de
en 0 et en
.
- Montrer que pour tout
appartenant à
;
, on a :
.
- Étudier le sens de variation de
sur
.
- Étudier la convexité de
sur
.
- Déterminer, en justifiant, les limites de
-
- Montrer que l'équation
admet dans
[ une solution unique qu'on notera
et justifier que
appartient à l'intervalle
.
- Déterminer le signe de
pour
.
- Montrer que
.
- Montrer que l'équation
Partie B : étude de la fonction

La fonction

![$] 0 ; 1]$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/exBac19062024/30.png)

On admet que la fonction

![$] 0 ; 1]$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/exBac19062024/33.png)

- Calculer
pour
puis vérifier que
.
-
- Justifier que pour
appartenant à l'intervalle
, on a
.
- On admet le tableau de signes suivant :
- Justifier que pour
Partie C : un calcul d'aire
On a représenté sur le graphique ci-dessous :
- La courbe
de la fonction
;
- La parabole
d'équation
sur l'intervalle
.
![\[\psset{unit=10cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture*}(-.4,-.2)(1.2,.5)
\newcommand{\fctg}[1]{-7 8 div #1 2 exp mul #1 add
-0.25 #1 2 exp mul #1 ln mul
add}
\newcommand{\fctP}[1]{-7 8 div #1 2 exp mul #1 add}
\pscustom{
\psplot{.58}{1}{\fctg{x}} \gsave
\psplot{1}{.58}{\fctP{x}}
\fill[fillstyle=hlines,fillcolor=lightgray]
%\fill[fillstyle=vlines]
\grestore}
\psline{->}(-.05,0)(1.2,0)
\psline{->}(0,-.05)(0,.5)
\newcommand{\divdx}[1]{#1 10 div}
\multido{\i=0+1}{11}{\psline(! \divdx{\i} \space .01)(! \divdx{\i} \space -.01)
\psline[linestyle=dotted](! \divdx{\i} \space -.01)(! \divdx{\i} \space .5)}
\multido{\i=1+1}{4}{\psline(! .01 \space \divdx{\i})(! -.01 \space \divdx{\i})
\psline[linestyle=dotted](! .01 \space \divdx{\i})(! 1.1 \space \divdx{\i})}
\psplot{.001}{1}{\fctg{x}}
\psplot{.001}{1}{\fctP{x}}
\psline[linestyle=dashed](.58,0)(.58,.33)
\rput(-.02,-.02){$O$}
\rput[r](-.02,.1){$0,1$}
\rput(.1,-.04){$0,1$}
\rput(.58,-.04){$\frac1\alpha$}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,.12)
\rput(1,-.04){$1$}
\rput[l](.72,.33){$\mathcal{C}_g$}
\rput[l](.72,.23){$\mathcal{P}$}
\end{pspicture*}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/exBac19062024/47.png)
On souhaite calculer l'aire





On rappelle que

-
- Justifier la position relative des courbes
et
sur l'intervalle
.
- Démontrer l'égalité :
- Justifier la position relative des courbes
- En déduire l'expression en fonction de
de l'aire
.
Correction exercice 4
Bac 2024, 6 points
Partie A : étude de la fonction 

La fonction

![$] 0 ;+\infty\left[\right.$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/exBac19062024_c/3.png)



![$] 0 ;+\infty\left[\right.$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/exBac19062024_c/7.png)


-
- On a
et donc,
.
De même,, et donc, par addition des limites,
- On a
soit, en mettant sur le même dénominateur
.
- Grâce à la question précédente, on peut alors dresser le tableau de variation:
- La convexité est donnée par le signe de la dérivée seconde.
On aavec
donc
et
donc
.
On a alors, soit
On trouve donc quedonc que
est concave sur
.
- On a
-
-
est continue et strictement croissante sur
avec
et
.
On en déduit d'après le théorème de la bijection (ou corolloaire du théorème des valeurs intermédiaires) qu'il existe une unique solutionà l'équation
.
De pluset
, ce qui montre que, plus précisément,
.
- D'après les questions précédentes, comme
est strictement croissante et s'annule en
, on a nécessairement les signes:
- Par définition, on a
, c'est-à-dire, en isolant
, que
-
Partie B : étude de la fonction 

-
Par ailleurs, on calcule
et on trouve donc bien finalement que.
-
- Pour
, on a
car on a montré queest strictement croissante sur
sur
.
- On admet le tableau de signes suivant :
- Pour
Partie C : un calcul d'aire.
-
- On note la différence
Or, pour, on a
et
, et ainsi
, ce qui signifie que
est au-dessus de
sur
.
- On utilise une intégration par partie en dérivant le logarithme:
donc
, et
donc
, et alors
et donc, en se rappelant que, et en mettant sur le même dénominateur
- On note la différence
- On en déduit l'aire recherchée:
Cacher la correction
Quelques autres devoirs
Voir aussi: