Devoir de maths corrigé, Annale Bac, spé maths - 19 juin 2024

Terminale générale, spécialité mathématiques

Baccalauréat 12 mai 2022. Sujet posé en spécialité mathématiques, filière générale. Correction détaillée du sujet.

Exercice 1: Vrai ou faux, limites de suites et fonctions, et une équation différentielle

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=5 x \mathrm{e}^{-x}$.
    On note $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

    Affirmation 1 :
    L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe $C_{f}$.

    Affirmation 2 :
    La fonction $f$ est solution sur $\R$ de l'équation différentielle $(E): y'+y=5e^{-x}$.


  2. On considère les suites $\left( u_n\rp,\left( v_n\rp$ et $\left( w_{n}\rp$, telles que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$.
    De plus, la suite $\left( u_n\rp$ converge vers -1 et la suite $\left( w_n\rp$ converge vers 1.

    Affirmation 3 :
    La suite $\left( v_n\rp$ converge vers un nombre réel $l$ appartenant à l'intervalle $[-1 ; 1]$.
    On suppose de plus que la suite $\left( u_n\rp$ est croissante et que la suite $\left( w_n\rp$ est décroissante.

    Affirmation 4 :
    Pour tout entier naturel $n$, on a alors : $u_0 \leqslant v_n \leqslant w_0$.

Correction exercice 1


Bac 2024 (4 points) Affirmation 1 : Vrai. On a, par croissances comparées, $\dsp\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=0$ et donc $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$, ce qui signifie exactement que l'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe $C_{f}$ en $+\infty$.


Affirmation 2 : Vrai. On dérive $f=uv$ avrc $u(x)=5x$ donc $u'(x)=5$ et $v(x)=e^{-x}$ donc $v'(x)=-e^{-x}$.
Ainsi $f'=u'v+uv'$ soit $f'(x)=5e^{-x}-5xe^{-x}$ et alors on trouve que
\[\begin{array}{ll}f'(x)+f(x)&=5e^{-x}-5xe^{-x}+5xe^{-x}\\&=5r^{-x}\enar\]

ce qui montre que $f$ est bien une solution sur $\R$ de l'équation différentielle $(E): y'+y=5e^{-x}$.


Affirmation 3 : Faux. On ne peut pas conclure ici que la suite $(v_n)$ converge. Pour appliquer le théorème des gendarmes il faudrait que les limites des suites encadrantes $(u_n)$ et $(w_n)$ soient égales.
Par exemple la suite $(v_n)$ définie par $v_n=\cos(n)$ est encadrée par $u_n=-\frac1n-1$ et $v_n=1+\frac1n$ qui convergent respectivement vers $-1$ et $1$.
Mais $(v_n)$ ne converge par.


Affirmation 4 : Vrai.
Comme $(u_n)$ est croissante, on a pour tout entier $n$,
\[u_0\leqslant u_1\leqslant \dots \leqslant u_n\leqslant v_n\]

et de même, comme $(w_n)$ est décroissante,
\[w_0\geqslant w_1\geqslant \dots \geqslant w_n\geqslant v_n\]

et ainsi, en particulier,
\[u_0 \leqslant v_n \leqslant w_0\]



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Exercice 2: Arbre, loi binomiale, somme de variables et Bienaymé-Tchebychev

Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l'occasion de l'achat d'un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d'électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces.
Les achats sur internet représentent $60 \%$ des ventes, les achats en magasin d'électroménager $30 \%$ des ventes et ceux en grandes surfaces $10 \%$ des ventes.
Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle est de :
  • $75 \%$ pour les clients sur internet;
  • $90 \%$ pour les clients en magasin d'électroménager ;
  • $80 \%$ pour les clients en grande surface.

On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné.
On définit les événements suivants :
  • $I$: « le client a effectué son achat sur internet» ;
  • $M$ : « le client a effectué son achat en magasin d'électroménager»;
  • $G:$ : « le client a effectué son achat en grande surface»;
  • $S$ : « le client est satisfait du service clientèle».

Si $A$ est un événement quelconque, on notera $\bar{A}$ son événement contraire et $P(A)$ sa probabilité.
  1. Reproduire et compléter l'arbre suivant.

    \[\psset{xunit=1cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture}(0,-2)(5,2) \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(0.6,1){\small \dots} \rput(1.75,1.5){$I$} \psline(3.5,2.)(2,1.5)(3.5,1) \rput(2.7,2){\small \dots}\rput(3.7,2){$S$} \rput(2.7,1){\small \dots}\rput(3.7,1){$\overline{S}$} % \psline(0,0)(1.5,0)\rput(1,0.2){\small \dots} \rput(1.75,0){$M$} \psline(3.5,0.5)(2,0)(3.5,-.5) \rput(2.7,.5){\small \dots}\rput(3.7,.5){$S$} \rput(2.7,-.5){\small \dots}\rput(3.7,-.5){$\overline{S}$} % \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(0.6,-1.){\small \dots} \rput(1.75,-1.5){$G$} \psline(3.5,-2.)(2,-1.5)(3.5,-1) \rput(2.7,-2){\small \dots}\rput(3.7,-2){$\overline{S}$} \rput(2.7,-1){\small \dots}\rput(3.7,-1){$S$} % \end{pspicture} \]


  2. Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle.
  3. Démontrer que $P(S)=0,8$.
  4. Un client est satisfait du service clientèle. Quelle est la probabilité qu'il ait effectué son achat sur internet? On donnera un résultat arrondi à $10^{-3}$ près.
  5. Pour réaliser l'étude, l'agence doit contacter chaque jour 30 clients parmi les acheteurs du téléviseur. On suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des 30 clients à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 30 clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.
    1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    2. Déterminer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'au moins 25 clients soient satisfaits dans un échantillon de 30 clients contactés sur une même journée.

  6. En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l'échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à 0,99.
  7. Dans les deux questions a. et b. qui suivent, on ne s'intéresse qu'aux seuls achats sur internet.

    Lorsqu'une commande de téléviseur est passée par un client, on considère que le temps de livraison du téléviseur est modélisé par une variable aléatoire $T$ égale à la somme de deux variables aléatoires $T_{1}$ et $T_{2}$.
    La variable aléatoire $T_{1}$ modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution. La variable aléatoire $T_{2}$ modélise le nombre entier de jours pour l'acheminement du téléviseur depuis cette plateforme jusqu'au domicile du client.
    On admet que les variables aléatoires $T_{1}$ et $T_{2}$ sont indépendantes, et on donne :
    • L'espérance $E\left(T_{1}\right)=4$ et la variance $V\left(T_{1}\right)=2$;
    • L'espérance $E\left(T_{2}\right)=3$ et la variance $V\left(T_{2}\right)=1$.
    1. Déterminer l'espérance $E(T)$ et la variance $V(T)$ de la variable aléatoire $T$.
    2. Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la probabilité qu'il reçoive son téléviseur entre 5 et 9 jours après sa commande est supérieure ou égale à $\frac{2}{3}$.

Correction exercice 2


Bac 2024, 5 points

  1. \[\psset{xunit=1cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture}(0,-2)(5,2) \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(0.6,1){\small 60\%} \rput(1.75,1.5){$I$} \psline(3.5,2.)(2,1.5)(3.5,1) \rput(2.7,2){\small 75\%}\rput(3.7,2){$S$} \rput(2.7,1){\small 25\%}\rput(3.7,1){$\overline{S}$} % \psline(0,0)(1.5,0)\rput(1,0.2){\small 30\%} \rput(1.75,0){$M$} \psline(3.5,0.5)(2,0)(3.5,-.5) \rput(2.7,.5){\small 90\%}\rput(3.7,.5){$S$} \rput(2.7,-.5){\small 10\%}\rput(3.7,-.5){$\overline{S}$} % \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(0.6,-1.){\small 10\%} \rput(1.75,-1.5){$G$} \psline(3.5,-2.)(2,-1.5)(3.5,-1) \rput(2.7,-2){\small 20\%}\rput(3.7,-2){$\overline{S}$} \rput(2.7,-1){\small 80\%}\rput(3.7,-1){$S$} % \end{pspicture} \]


  2. La probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle est la probabilité de l'intersection $P(I\cap S)=60\%\tm75\%=45\%$
  3. D'après la formule des probabilités totales, on a
    \[\begin{array}{ll}P(S)&=P(I\cap S) + P(M\cap S) + P(G\cap S)\\[.6em] &=60\%\tm75\% + 30\%\tm90\% + 10\%\tm80\%\\[.6em] &=80\%\enar\]


  4. Sachant que le client est satisfait du service clientèle, la probabilité qu'il ait effectué son achat sur internet est
    \[P_S(I) = \dfrac{P(I\cap S)}{P(I)}=\dfrac{45\%}{80\%}\simeq56,2\%\]


    1. On répète $n=30$ fois l'expérience aléatoire: « contacter un client au hasard», de manière identique et indépendante (car le choix est assimilé à un tirage avec remise), et dont le succès est « le client est satisfait» de probabilité $p=P(S)=80\%$.
      Ainsi, la variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès, c'est-à-dire au nombre de clients satisfaits dans l'échantillon, suit la loi binomiale de paramètre $n=30$ et $p=0,8$.
    2. Avec la calculatrice, on trouve que
      \[P(X\geqslant25) = 1 - P(X\leqslant 24) \simeq 0,427 = 42,7\%\]


  6. On cherche la taille minimale $n$ de l'échantillon pour que $X\sim \mathcal{B}(n;0,8)$ et
    \[P(X\leqslant n-1) = 1-P(X=n)\geqslant0,99\]

    soit
    \[\begin{array}{ll}&1-0,8^n\geqslant0,99\\ \iff&0,8^n\leqslant 1-0,99=0,01\enar\]

    et donc, en appliquant le logarithme qui est croissant, on obtient
    \[\ln\left( 0,8^n\rp=n\ln(0,8)\leqslant\ln(0,01)\]

    et alors, en divisant par $\ln(0,8)<\ln(1)=0$, on trouve donc
    \[n\geqslant\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)}\simeq 20,6\]

    Il faut dnc contacter au moins 21 clients.
    1. Par linéarité de l'espérance on
      \[E(T)=E(T_1+T_2)=E(T_1)+E(T_2)=7\]

      et, comme les variables sont indépendantes, on a
      \[V(T)=V(T_1+T_2)=V(T_1)+V(T_2)=3\]

    2. On cherche ici
      \[\begin{array}{ll}P\left( 5\leqslant T\leqslant9\right) &=P\left( -2\leqslant T-7\leqslant2\rp\\[.6em] &=P\lp|T-7|\leqslant2\rp\\[.6em] &=1-P\lp|T-7|>2\rp\end{array} \]

      Or $T$ est le nombre de jours entiers, et donc
      \[P\lp|T-7|>2\rp=P\lp|T-7|\geqslant3\rp\]

      On applique alors l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
      \[P\left( |T-E(T)|\geqslant a\right) \leqslant \dfrac{V(T)}{a^2}\]

      soit ici, avec $a=3$,
      \[P\left( |T-7|\geqslant 3\right) \leqslant \dfrac39=\dfrac13\]

      et alors
      \[P\lp|T-7|\geqslant3\right) =1-P\left( 5\leqslant T\leqslant9\rp\leqslant\dfrac13\]

      d'où
      \[P\left( 5\leqslant T\leqslant9\rp\geqslant1-\dfrac13=\dfrac23\]



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Exercice 3: Un peu toute la géométrie dans l'espace avec un tétraèdre

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(0 ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.
On considère les points $A(5 ; 5 ; 0)$, $B(0 ; 5 ; 0), C(0 ; 0 ; 10)$ et $D\left(0 ; 0 ;-\frac{5}{2}\right)$.

\[\psset{yunit=.6cm,xunit=.7cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-2,-3.5)(8,11) \psline(-1.7,0)(6,0) \psline(-1,-1)(3,3) \psline(0,-3)(0,11) % \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,10)(2,2)(3,1)(6,2) \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,10){.08} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](2,2){.08} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](3,1){.08} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](6,2){.08} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,-2.5){.08} \psline(0,10)(2,2)(3,1)(6,2)(0,10)(3,1) \psline[linestyle=dotted](2,2)(6,2) \psline[linestyle=dotted](2,2)(4.3,4.3) \psline(4.3,4.3)(5.5,5.5) % \rput[r](-.1,-.7){\small$O$} \rput[r](-.3,10.2){$C$} \rput[r](-.3,-2.6){$D$} \rput(1.3,2.1){$B$} \rput(3,.4){$H$} \rput(6.4,1.8){$A$} % \psline{->}(0,0)(.8,.8) \psline{->}(0,0)(0,1) \psline{->}(0,0)(1,0) \rput(.5,-.4){$\vec{j}$} \rput(-.4,.8){$\vec{k}$} \rput(.7,1.2){$\vec{i}$} \end{pspicture} \]


    1. Montrer que $\overrightarrow{n_1}\lp\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\enar\rp$ est un vecteur normal au plan (CAD).
    2. En déduire que le plan (CAD) a pour équation cartésienne : $x-y=0$.

  2. On considère la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\la\begin{array}{l}x=\dfrac52t \\ y=5-\dfrac52t \\ z=0\enar\right.$ où $t \in \R$.
    1. On admet que la droite $\mathcal{D}$ et le plan (CAD) sont sécants en un point $H$. Justifier que les coordonnées de $H$ sont $\lp\dfrac52 ; \dfrac52 ; 0\rp$.
    2. Démontrer que le point $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan (CAD).

    1. Démontrer que le triangle $A B H$ est rectangle en $H$.
    2. En déduire que l'aire du triangle $A B H$ est égale à $\dfrac{25}{4}$.

    1. Démontrer que (CO) est la hauteur du tétraèdre $A B C H$ issue de $C$.
    2. En déduire le volume du tétraèdre $A B C H$.
      On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par: $V=\dfrac13\mathcal{B} h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
  5. On admet que le triangle $A B C$ est rectangle en $B$. Déduire des questions précédentes la distance du point $H$ au plan $(A B C)$.

Correction exercice 3


Bac 2024, 5 points
    1. On a $\overrightarrow{CA}\lp\begin{array}{c}5\\5\\-10\enar\rp$ et $\overrightarrow{CD}\lp\begin{array}{c}0\\0\\-\frac{25}2\enar\rp$ et donc les produits scalaires
      \[\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{CA}=1\tm5+(-1)\tm5+0\tm(-10)=0\]

      et
      \[\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{CD}=1\tm0+(-1)\tm0+0\tm\lp-\dfrac{25}2\rp=0\]

      Ainsi $\overrightarrow{n_1}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (CAD), et est donc normal au plan (CAD).
    2. Une équation cartésienne du plan (CAD) est donc de la forme
      \[1x+(-1)y+0z+d=0\iff x-y+d=0\]

      De plus $A(5;5;0)$ est un point de ce plan, et donc $5-5+d=0\iff d=0$.
      Ainsi, le plan (CAD) a bien pour équation cartésienne: $x-y=0$.

  2. On considère la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\la\begin{array}{l}x=\dfrac52t \\ y=5-\dfrac52t \\ z=0\enar\right.$ où $t \in \R$.
    1. Soit $H(x;y;z)$, alors il existe un réel $t$ tel que $\la\begin{array}{l}x=\dfrac52t \\ y=5-\dfrac52t \\ z=0\enar\right.$ et de plus $x-y=0$.
      Ainsi,
      \[x=y \iff \dfrac52t=5-\dfrac52t \iff t=1\]

      et on trouve alors les coordonnées avec ce paramètre
      \[\la\begin{array}{l}x=\dfrac52\tm1=\dfrac52 \\ y=5-\dfrac52\tm1=\dfrac52 \\ z=0\enar\right. \]

      soit $H\lp\dfrac52 ; \dfrac52 ; 0\rp$.
    2. On a $\overrightarrow{BH}\lp\begin{array}{c}\frac52\\\frac52\\0\enar\rp=5\\overrightarrow{n_1}$, c'est-à-dire que ces vecteurs sont colinéaires. En particulier, comme $\overrightarrow{n_1}$ est normal au plan (CAD), $\overrightarrow{BH}$ est aussi normal à ce plan.
      Comme ce plus $H\in(CAD)$, on en déduit que $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan (CAD).

    1. On peut soit calculer le produit scalaire $\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{CH}$, ou alors utiliser le résultat précédent: comme $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur (CAD), on sait donc que $(BH)$ est orthogonale à toutes les droites du plan (CAD), en particulier orthogonale à (AH) puisque A et H appartiennent à (CAD).
    2. L'aire du triangle $A B H$ est
      \[\mathcal{A}_{ABH}=\dfrac12BH\times AH \]

      avec
      \[BH=\sqrt{\lp\dfrac52\rp^2+\lp-\dfrac52\rp^2+0^2}=\dfrac52\sqrt2\]

      et
      \[AH=\sqrt{\lp-\dfrac52\rp^2+\lp-\dfrac52\rp^2+0^2}=\dfrac52\sqrt2\]

      d'où
      \[\mathcal{A}_{ABH}=\dfrac12\tm\dfrac52\sqrt2\tm\dfrac52\sqrt2=\dfrac{25}{4}\]


    1. $O\in(ABH)$ car le plan (ABH) est le plan d'équation $z=0$.
      De plus (OC) est bien orthogonale à ce plan, car $\overrightarrow{OC}\lp\begin{array}{c}0\\0\\1\enar\rp$ est un vecteur normal au plan d'équation $z=0$. Ainsi, (CO) est bien la hauteur du tétraèdre $A B C H$ issue de $C$.
    2. Le volume du tétraèdre $A B C H$ est
      \[\begin{array}{ll}V&=\dfrac13\mathcal{B} h\\[.8em] &=\dfrac13\mathcal{A}_{ABH}\times OC\\[.8em] &=\dfrac13\tm\dfrac{25}4\tm10\\[.8em] &=\dfrac{125}6\enar\]


  5. En calculant le même volume d'une autre façon, on a
    \[V=\dfrac13\mathcal{A}_{ABC}h\]

    où $h$ est la distance recherchée du point H au plan (ABC), et
    \[\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac12BC\times BA\]

    avec $BC=\sqrt{0^2+5^2+10^2}=\sqrt{125}=5\sqrt5$ et $BA=\sqrt{5^2+0^2+0^2}=$ d'où
    \[\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac12\tm5\sqrt5\tm5=\dfrac{25\sqrt5}2\]

    et donc
    \[V=\dfrac{125}6=\dfrac13\tm\dfrac{25\sqrt5}2h\]

    d'où
    \[h=\dfrac5{\sqrt5}=\sqrt5\]




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Exercice 4: Fonction logarithme: variations, limites, convexité et intégrale: calcul de l'aire entre deux courbes

Partie A : étude de la fonction $f$


La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $] 0 ;+\infty\left[\right.$ par : $f(x)=x-2+\frac{1}{2} \ln x$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $] 0 ;+\infty\left[\right.$, on note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
    1. Déterminer, en justifiant, les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$.
    2. Montrer que pour tout $x$ appartenant à $] 0$; $+\infty\left[\right.$, on a : $f'(x)=\dfrac{2 x+1}{2 x}$.
    3. Étudier le sens de variation de $f$ sur $] 0 ;+\infty[$.
    4. Étudier la convexité de $f$ sur $] 0 ;+\infty[$.

    1. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet dans $] 0 ;+\infty$ [ une solution unique qu'on notera $\alpha$ et justifier que $\alpha$ appartient à l'intervalle $[1 ; 2]$.
    2. Déterminer le signe de $f(x)$ pour $x \in] 0 ;+\infty[$.
    3. Montrer que $\ln (\alpha)=2(2-\alpha)$.



Partie B : étude de la fonction $g$

La fonction $g$ est définie sur $] 0 ; 1]$ par $g(x)=-\frac{7}{8} x^{2}+x-\frac{1}{4} x^{2} \ln x$.
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $] 0 ; 1]$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.
  1. Calculer $g'(x)$ pour $x \in] 0 ; 1]$ puis vérifier que $g'(x)=x f\lp\frac{1}{x}\rp$.
    1. Justifier que pour $x$ appartenant à l'intervalle $] 0 ; \frac1\alpha\left[\right.$, on a $f\lp\frac1x\rp>0$.
    2. On admet le tableau de signes suivant :
      \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & 0 && $\frac1\alpha$ && 1 \\ \hline Signe de $f\lp\frac{1}{x}\rp$ && $+$ & 0 & $-$& \\\hline \end{tabular} \]




Partie C : un calcul d'aire

On a représenté sur le graphique ci-dessous :
  • La courbe $C_{g}$ de la fonction $g$;
  • La parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=-\frac{7}{8} x^{2}+x$ sur l'intervalle $\left.] 0 ; 1\right]$.


\[\psset{unit=10cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture*}(-.4,-.2)(1.2,.5) \newcommand{\fctg}[1]{-7 8 div #1 2 exp mul #1 add -0.25 #1 2 exp mul #1 ln mul add} \newcommand{\fctP}[1]{-7 8 div #1 2 exp mul #1 add} \pscustom{ \psplot{.58}{1}{\fctg{x}} \gsave \psplot{1}{.58}{\fctP{x}} \fill[fillstyle=hlines,fillcolor=lightgray] %\fill[fillstyle=vlines] \grestore} \psline{->}(-.05,0)(1.2,0) \psline{->}(0,-.05)(0,.5) \newcommand{\divdx}[1]{#1 10 div} \multido{\i=0+1}{11}{\psline(! \divdx{\i} \space .01)(! \divdx{\i} \space -.01) \psline[linestyle=dotted](! \divdx{\i} \space -.01)(! \divdx{\i} \space .5)} \multido{\i=1+1}{4}{\psline(! .01 \space \divdx{\i})(! -.01 \space \divdx{\i}) \psline[linestyle=dotted](! .01 \space \divdx{\i})(! 1.1 \space \divdx{\i})} \psplot{.001}{1}{\fctg{x}} \psplot{.001}{1}{\fctP{x}} \psline[linestyle=dashed](.58,0)(.58,.33) \rput(-.02,-.02){$O$} \rput[r](-.02,.1){$0,1$} \rput(.1,-.04){$0,1$} \rput(.58,-.04){$\frac1\alpha$} \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,.12) \rput(1,-.04){$1$} \rput[l](.72,.33){$\mathcal{C}_g$} \rput[l](.72,.23){$\mathcal{P}$} \end{pspicture*}\]


On souhaite calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré compris entre les courbes $C_{g}$ et $\mathcal{P}$, et les droites d'équations $x=\frac{1}{\alpha}$ et $x=1$.
On rappelle que $\ln (\alpha)=2(2-\alpha)$.
    1. Justifier la position relative des courbes $C_g$ et $\mathcal{P}$ sur l'intervalle $] 0 ; 1]$.
    2. Démontrer l'égalité :
      \[\int_{\frac1\alpha}^1 x^2 \ln x dx = \frac{-\alpha^{3}-6 \alpha+13}{9 \alpha^{3}}\]


  2. En déduire l'expression en fonction de $\alpha$ de l'aire $\mathcal{A}$.

Correction exercice 4


Bac 2024, 6 points

Partie A : étude de la fonction $f$


La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $] 0 ;+\infty\left[\right.$ par : $f(x)=x-2+\frac{1}{2} \ln x$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $] 0 ;+\infty\left[\right.$, on note $f^{\prime}$ sa dérivée et $f^{\prime \prime}$ sa dérivée seconde.
    1. On a $\dsp\lim_{x\to0}\ln x=-\infty$ et donc, $\dsp\lim_{x\to0}f(x)=-\infty$.
      De même, $\dsp\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$, et donc, par addition des limites, $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$
    2. On a $f'(x)=1-0+\dfrac12\tm\dfrac1x$ soit, en mettant sur le même dénominateur $f'(x)=\dfrac{2 x+1}{2 x}$.
    3. Grâce à la question précédente, on peut alors dresser le tableau de variation:
      \[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline $x$ & 0 &\hspace*{1em}&$+\infty$ \\\hline $2x+1$ && $+$ & \\\hline $2x$ &0& $+$ & \\\hline $f'(x)$ && $+$ & \\\hline &&&$+\infty$\\ $f$&\psline(-.1,1.4)(-.1,-.65)\psline(0,1.4)(0,-.65)&\Large{$\nearrow$}&\\ &\qquad $-\infty$&&\\\hline \end{tabular}\]


    4. La convexité est donnée par le signe de la dérivée seconde.
      On a $f'=\dfrac{u}v$ avec $u(x)=2x+1$ donc $u'(x)=2$ et $v(x)=2x$ donc $v'(x)=2$.
      On a alors $f''=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, soit
      \[f''=\dfrac{2(2x)-(2x+1)2}{(2x)^2}=\dfrac{-1}{2x^2}\]

      On trouve donc que $f''(x)<0$ donc que $f$ est concave sur $]0;£\infty[$.

    1. $f$ est continue et strictement croissante sur $]0;+\infty[$ avec $\dsp\lim_{x\to0}f(x)=-\infty$ et $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
      On en déduit d'après le théorème de la bijection (ou corolloaire du théorème des valeurs intermédiaires) qu'il existe une unique solution $\alpha$ à l'équation $f(x)=0$.

      De plus $f(1)=1-2+\dfrac12\ln(1)=-1<0$ et $f(2)=\dfrac12\ln(2)>\dfrac12\ln(1)=0$, ce qui montre que, plus précisément, $\alpha\in]1;2[$.
    2. D'après les questions précédentes, comme $f$ est strictement croissante et s'annule en $\alpha$, on a nécessairement les signes:
      \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & 0 && $\alpha$ &&$+\infty$ \\\hline $f(x)$ &\psline(0,.35)(0,-.15)\,\psline(0,.35)(0,-.15)& $-$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &$+$ & \\\hline \end{tabular}\]

    3. Par définition, on a $f(\alpha)=\alpha-2+\dfrac12\ln(\alpha)=0$, c'est-à-dire, en isolant $\ln(\alpha)$, que
      \[\ln(\alpha)=2(2-\alpha)\]




Partie B : étude de la fonction $g$


  1. \[\begin{array}{ll}g'(x)&=-\dfrac78\tm2x+1-\dfrac14\left( 2x\ln x+x^2\tm\dfrac1x\rp\\[1em] &=-\dfrac74x+1-\dfrac12x\ln x-\dfrac14x\\[.8em] &=-2x+1-\dfrac12\ln x \enar\]

    Par ailleurs, on calcule
    \[\begin{array}{ll}xf\lp\frac1x\rp&=x\lp\dfrac1x-2+\dfrac12\ln\lp\dfrac1x\rp\rp\\[1em] &=1-2x-\dfrac12\ln x \enar\]

    et on trouve donc bien finalement que $g'(x)=x f\left(\frac{1}{x}\right)$.
    1. Pour $x\in\left] 0 ; \frac1\alpha\right[$, on a
      \[\begin{array}{ll}x<\dfrac1\alpha&\iff \dfrac1x>\alpha\\ &\iff f\lp\dfrac1x\rp>f(\alpha)=0 \enar\]

      car on a montré que $f$ est strictement croissante sur $f$ sur $[\alpha;+\infty[$.
    2. On admet le tableau de signes suivant :

      \[ \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & 0 && $\frac1\alpha$ && 1 \\ \hline $f\lp\frac{1}{x}\rp$ && $+$ & 0 & $-$& \\\hline $x$ & 0 & $+$ &$|$ & $+$& \\\hline $g'(x)=xf'\lp\frac1x\rp$ & & $+$ & 0 & $-$ & \\\hline &&&&&\\ $g$&\psline(0,1.9)(0,-.9)\,\psline(0,1.9)(0,-.9)&\large{$\nearrow$}&&\large{$\searrow$}&\\ &&&&&\\\hline \end{tabular} \]




Partie C : un calcul d'aire.

    1. On note la différence
      \[\begin{array}{ll}d(x)&=g(x)-\lp\dfrac78x^2+x\rp\\ &=-\dfrac14x^2\ln x \enar\]

      Or, pour $x\in]0;1@$, on a $x^2>0$ et $\ln x\leqslant 0$, et ainsi $d(x)\leqslant0$, ce qui signifie que $\mathcal{C}_g$ est au-dessus de $\mathcal{P}$ sur $]0;1]$.
    2. On utilise une intégration par partie en dérivant le logarithme: $u(x)=\ln x$ donc $u'(x)=\frac1x$, et $v'(x)=x^2$ donc $v(x)=\frac13x^3$, et alors
      \[\begin{array}{ll}I&=\dsp\int_{\frac1\alpha}^1 \ln x\, x^2 dx\\[1.2em] &=\dsp\left[ \ln x\times \dfrac13x^3\rb_{\frac1\alpha}^1-\int_{\frac1\alpha}^1\dfrac1x\times\dfrac13x^3 dx\\[1.2em] &=\dsp0-\ln\lp\dfrac1\alpha\rp\dfrac1{3\alpha^3} -\dfrac13\int_{\frac1\alpha}^1x^2 dx\\[1.2em] &=\dfrac{\ln\alpha}{3\alpha^3}-\dfrac13\lb\dfrac{x^3}3\rb_{\frac1\alpha}^1\\[1.2em] &=\dfrac{\ln\alpha}{3\alpha^3}-\dfrac19\lp1-\dfrac1{\alpha^3}\right) \enar\]

      et donc, en se rappelant que $\ln\alpha=2(2-\alpha)$, et en mettant sur le même dénominateur
      \[\begin{array}{ll}I&=\dfrac{3\tm2(2-\alpha)-(\alpha^2-1)}{9\alpha^2}\\[.8em] &=\dfrac{-\alpha^3-6 \alpha+13}{9 \alpha^3}\enar\]


  2. On en déduit l'aire recherchée:
    \[\begin{array}{ll}\mathcal{A}&=\dsp\int_{\frac1\alpha}^1\left( g(x)-\left(-\dfrac78x^2+x\rp\rp dx\\[1.4em] &=\dsp\int_{\frac1\alpha}^1\lp-\dfrac14x^2\ln x\right) dx\\[1.2em] &=-\dfrac14I = \dfrac{\alpha^3+6 \alpha-13}{36 \alpha^3} \enar\]



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Quelques autres devoirs




    Voir aussi:
    ccc