Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques: suite, récurrence et python},
pdftitle={Suites et récurrence},
pdfkeywords={Mathématiques, suites, récurrence}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Devoir de mathématiques}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
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\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir maison de math\'ematiques}}
\bgex
\bgen[a)]
\item En $-\infty$, comme $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^x=0$, on a
directement, par additions et quotient,
$\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{e^x+2}{e^x+1}=2$.
Ainsi, la droite $y=2$ est asymptote à la courbe de $f$ en $-\infty$.
\medskip
En $+\infty$, on a une forme indéterminée, et on factorise donc préalablement:
\[f(x)=\dfrac{e^x+2}{e^x+1}
=\dfrac{e^x\lp1+\frac2{e^x}\rp}{e^x\lp1+\frac1{e^x}\rp}
=\dfrac{1+\frac2{e^x}}{1+\frac1{e^x}}
\]
et alors, comme $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$, on a
\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1+\frac2{e^x}}{1+\frac1{e^x}}=1\]
Ainsi, la droite $y=1$ est asymptote à la courbe de $f$ en $+\infty$.
\item On calcule la dérivée: $f'(x)=\dfrac{-e^x}{\left( e^x+1\rp^2}$
et, comme $e^x>0$, on en déduit que $f'(x)<0$ et donc que $f$ est strictement décroissante sur $\R$.
\enen
\enex
\bgex
Déterminer les limites:
\bgen[a)]
\item $1+x+x^2=x^2\lp1+\dfrac1x+\dfrac1{x^2}\rp$
avec, $\dsp\lim_{x\to-\infty}1+\dfrac1x+\dfrac1{x^2}=1$
et $\dsp\lim_{x\to-\infty} x^2=+\infty$\\
et ainsi, par produit des limites
$\dsp\lim_{x\to-\infty} 1+x+x^2=+\infty$
\item On a $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ et
$\dsp\lim_{x\to+\infty}1-x^2=-\infty$, d'où,
$\dsp\lim_{x\to+\infty}e^x\lp1-x^2\rp=-\infty$.\\
Par ailleurs,
$\dfrac{x}{x^2+2x+1}=\dfrac1x\tm\dfrac1{1+\frac2x+\frac1{x^2}}$ avec
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x$
et $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac1{1+\frac2x+\frac1{x^2}}=1$,
d'où $\dfrac{x}{x^2+2x+1}=0$. \\
Finalement, par addition, on trouve
$\dsp\lim_{x\to+\infty} e^x(1-x^2)+\dfrac{x}{x^2+2x+1}=-\infty$
\item Pour le numérateur, on a $\dsp\lim_{x\to2}2x-e^x=4-e^2\simeq-3,4<0$.\\
Pour le dénominateur, $\dsp\lim_{x\to2}(x-2)^2=0$ avec
$(x-2)^2\geqslant0$, d'où, par quotient et règle des signes,
$\dsp\lim_{x\to2}\dfrac{2x-e^x}{(x-2)^2}=-\infty$
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item
$u_2=\lp 1+\dfrac21\rp u_1+\dfrac{18}{1}-4
=3\tm(-5)+14=-1$;
$u_3=\lp 1+\dfrac22\rp u_2+\dfrac{18}{2}-4
=2\tm(-1)+5=3$
On peut conjecturer que la suite $\lp u_n\rp$ est arithm\'etique de
raison $4$.
\item Soit $\mathcal{P}(n): u_n=4n-9$.
\textsl{Initialisation:} On a $u_1=-5$, et
pour $n=0$, $4\tm1-9=-5$.
Ainsi, initialement au rang $n=1$, on a bien $u_n=4n-9$ et $\mathcal{P}(1)$ est donc vraie.
\medskip
\textsl{H\'er\'edit\'e:}
Supposons que pour un certain entier $n\geqslant1$, on ait
$\mathcal{P}(n): u_n=4n-9$, alors,
\[\bgar{ll}
u_{n+1}&=\lp1+\dfrac2n\rp u_n+\dfrac{18}{n}-4\\[1.2em]
&=\lp1+\dfrac2n\rp \lp 4n-9\rp+\dfrac{18}{n}-4\\[1.2em]
&=4n-9+\dfrac{8n}{n}-\dfrac{18}{n}+\dfrac{18}{n}-4\\[.5em]
&=4n-5\\[.5em]
&=4(n+1)-9
\enar\]
Ainsi au rang $n+1$ on a bien encore $u_{n+1}=4(n+1)-9$,
c'est-à-dire que $\mathcal{P}(n+1)$ est encore vraie.
\medskip
\textsl{Conclusion:} On a donc d\'emontr\'e, d'apr\`es le principe de
r\'ecurrence, que pour tout entier $n\geqslant1$,
$\mathcal{P}(n): u_n=4n-9$ est vraie.
\enen
\enex
\bgex
$f(x) = \dfrac{2 + 3x}{4 + x}$ \hfill {\it (Bac S: m\'etropole - La R\'eunion 13 septembre 2019)}
\begin{enumerate}
\item
$u_1 = f\left(u_0\right) = \dfrac{2 + 9}{4 + 3} = \dfrac{11}{7}$.
\item La fonction $f$ est d\'efinie et d\'erivable sur [0~;~4] et sur cet intervalle :
$f'(x) = \dfrac{3(4 + x) - 1(2 + 3x)}{(4 + x)^2} = \dfrac{12 + 3x - 2 - 3x}{(4 + x)^2} = \dfrac{10}{(4 + x)^2}$
Quotient de nombres positifs ce nombre d\'eriv\'e est positif quel que soit $x$ dans l'intervalle [0~;~4]. La fonction $f$ est donc croissante sur [0~;~4].
\item D\'emonstration par r\'ecurrence :
\emph{Initialisation}
On a d'apr\`es la premi\`ere question : $1 \leqslant u_1 \leqslant u_0 \leqslant 3$ : l'encadrement est vrai au rang $0$ ;
\emph{H\'er\'edit\'e}
Supposons que pour $n \in \N$, \ $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$ ; par croissance de la fonction $f$ sur [0~;~4], on
$f(1) \leqslant f\left(u_{n+1}\right) \leqslant f\left(u_{n}\right) \leqslant f(3)$ ou car $f(1) = \dfrac{5}{5} = 1$ et $f(3) = \dfrac{11}{7} \leqslant 3$,
$1 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \leqslant 3$ : la relation est donc vraie au rang $n + 1$.
\emph{Conclusion} : l'encadrement est vrai au rang $0$ et s'il est vrai \`a un rang quelconque $n$ il est vrai au rang suivant $n+1$ : d'apr\`es le principe de r\'ecurrence pour tout naturel $n$, \ $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3$.
\item D'apr\`es la question pr\'ec\'edente la suite $\left(u_n\right)$ est d\'ecroissante, minor\'ee par $1$ : elle converge donc vers une limite $\ell \geqslant 1$.\\
De l'\'egalit\'e $u_{n+1} = f\left(u_n \right) = \dfrac{2 + 3u_n}{4 + u_n}$ on en d\'eduit par continuit\'e de la fonction $f$ (puisque $f$ est d\'erivable),
d'après le théorème du point fixe que la limite vérifie l'équation
\[\ell = \dfrac{2 + 3\ell}{4 + \ell}.\]
On en d\'eduit que $\ell(4 + \ell) = 2 + 3\ell \iff \ell^2 + \ell - 2 = 0$.
Or $\Delta = 1 + 4 \times 2 = 9 = 3^2$. Il y a deux solutions :
$\ell_1 = \dfrac{- 1 - 3}{2} = -2$ et $\ell_2 = \dfrac{- 1 + 3}{2} = 1$.
Finalement, comme $\ell \in [1~;~3]$, la seule solution est $\ell_2 = 1$,
et on a donc
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=1$.
\end{enumerate}
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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