Correction du devoir de maths, Equations différentielles
Terminale générale, spécialité mathématiques
Devoir de mathématiques, et corrigé, posé en spé maths, terminale générale, année scolaire 2022/2023
Exercice 1: Nombre de noyaux radioactifs
Nombre de noyaux radioactifs
On note le nombre de noyaux radioactifs d'un corps à l'instant , où est exprimé en jours.
On admet que la fonction est solution de l’équation différentielle , où est une constante réelle.
Cacher la correction
On note le nombre de noyaux radioactifs d'un corps à l'instant , où est exprimé en jours.
On admet que la fonction est solution de l’équation différentielle , où est une constante réelle.
- Déterminer la fonction solution de l'équation différentielle , sachant que .
- Au bout de 18 jours, le nombre de noyaux radioactifs a diminué de moitié.
En déduire la valeur exacte de . - Au bout de combien de jours le le nombre de noyaux radioactifs deviendra-t-il inférieur à 100 ?
Correction exercice 1
- est une équation sans second membre dont la solution est directement , .
De plus, on a d'une part, et d'autre part, .
On en déduit que , et donc que la solution de recherchée est . - Pour , on a
On en déduit que
- On cherche tel que
puis, en appliquant la fonction ln qui est strictement croissante,
et enfin, en divisant par , on trouve
soit au cours du 418ème jour.
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Exercice 2: Equation différentielle, exponentielle (Bac 2009, Antilles-Guyane)
La température de refroidissement d'un objet fabriqué industriellement
est une fonction du temps .
Cette fonction est définie sur l'ensemble des nombres réels positifs et vérifie
l'équation différentielle:
La température est exprimée en degrés Celsius (C) et le temps en heures.
D'après Bac S, Antilles-Guyane, 23 juin 2009
Cacher la correction
La température est exprimée en degrés Celsius (C) et le temps en heures.
- Déterminer pour , sachant que pour , la température de l'objet est 220 C.
- Pour la suite, on prendra comme fonction ,
la fonction suivante définie sur par
On note sa courbe représentative.- Étudier les variations de la fonction sur .
- Étudier la limite de la fonction en . La courbe admet-elle une asymptote en ?
- Représenter graphiquement .
- Déterminer le moment où la température de l'objet est 50 C.
Donner une valeur approchée de ce moment en heures et minutes.
Correction exercice 2
D'après Bac S, Antilles-Guyane, 23 juin 2009
- Les solutions de l'équation différentielle:
sont , pour tout réel .
On sait de plus que , soit .
Ainsi, la température de l'objet est . -
- Comme ,
on a
.
Comme pour tout réel , on trouve donc
que et donc que est strictement décroissante.
- On a et donc , et donc la droite d'équation est asymptote en à .
-
- Comme ,
on a
.
Comme pour tout réel , on trouve donc
que et donc que est strictement décroissante.
- Le moment où la température de l'objet est 50 C
est
soit environ 3 heures et 48 minutes.
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Exercice 3: Equation différentielle du 1er ordre - Convexité de la solution
On considère l'équation différentielle
.
D'après Bac S, métropole, 22 juin 2010
On considère l'équation différentielle .
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- Montrer que la fonction définie sur par est une solution de l'équation différentielle .
- On considère l'équation différentielle . Résoudre l'équation différentielle .
- En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle .
- Déterminer l'unique solution de l'équation différentielle telle que .
- Étudier la convexité de sur .
Correction exercice 3
D'après Bac S, métropole, 22 juin 2010
On considère l'équation différentielle .
- et donc
ce qui montre que est bien solution de . - Les solutions de sont les fonctions définies par , pour tout réel .
- Les solutions de l'équation différentielle sont alors , soit, pour tout réel , .
- est une solution, donc s'écrit sous la forme
.
De plus, , d'où .
-
Pour calculer la dérivée seconde, on peut soit dériver à nouveau ce produit, soit utiliser l'équation différentielle. Comme est solution de , on a
et donc, en dérivant
soit,
Comme pour tout réel , on obtient donc que pour , et donc est concave, et pour , et donc est convexe.
Enfin la courbe de admet un unique point d'inflexion en .
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Exercice 4: Changement de variable dans une équation différentielle
Se ramener à une équation différentielle connue
On considère l'équation différentielle .
On cherche une solution de cette équation telle que .
Cacher la correction
On considère l'équation différentielle .
On cherche une solution de cette équation telle que .
- Supposons que soit une solution de l'équation différentielle .
On pose alors , en supposant que la fonction ne s'annule pas, et on note l'équation .
Montrer que solution de si et seulement si solution de .
-
- Préciser la valeur de .
- Déterminer la solution de l'équation .
- En déduire la solution de .
Correction exercice 4
- Pour , on a .
solution de signifie que ,
soit donc .
Comme ne s'annule, non plus, et on peut multiplier cette équation par , pour obtenir l'équation qui montre que est solution de l'équation .
-
- On a et donc .
- L'équation se résout simplement: c'est une équation différentielle linéaire à coefficients constants de solution
.
Comme on a vu que , on a alors , d'où .
- On revient enfin à l'équation par la transformation
qui est donc la solution recherchée de l'équation .
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Quelques autres devoirs
Devoir corrigéÉquations différentielles
sur les équations différentielles: désintégration de noyaux radioactifs - Température de refroidissement d'un objet (Bac S, Antilles-Guyane, 23 juin 2009) - Équaton différentielle avec changement de fonction (Bac S, métropole, 22 juin 2010) - Équaton différentielle non linéaire, avec un carré
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Primitives, vérification qu'une fonction donnée est solution d'une équation différentielle, étude de fonction et de convexité - Probabilités & loi binomiale - Suite récurrente
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