Oral du bac: suites, récurrence - géométrie dans l'espace

suites, géométrie dans l'espace

  • L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
  • La qualité des raisonnements, de l'expression, et la précision des justifications prendront une part importante dans l'appréciation de l'interrogation orale.
  • Il s'agit d'une épreuve orale: il n'est pas indispensable de rédiger l'ensemble des réponses, des calculs, du raisonnement …
    Par contre vous devez être en mesure d'apporter toutes les justifications nécessaires.
    L'exposé de la méthode et du raisonnement sera pris en compte.

Exercice 1: Suite récurrente, démonstration par récurrence et calcul de limite

Soit $(u_n)$ la suite défnie par $u_0=2$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}$.
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  2. Démontrer que, pour tout entier $n$, $u_n=\dfrac2{2n+1}$.
  3. Déterminer la limite de cette suite.

Correction exercice 1
  1. $u_1=\dfrac{u_0}{1+u_0}=\dfrac23$ et $u_2=\dfrac{u_1}{1+u_1}=\dfrac{\dfrac23}{\dfrac53}=\dfrac25$.
  2. On peut démontrer cette propriété par récurrence.
    Initialisation: La propriété est vraie pour $n=0$ car $u_0=2$ et $\dfrac2{2\tm0+1}=2$.

    Hérédité: Supposons que la propriété soit vraie à un certain rang $n$, c'est-à-dire que $u_n=\dfrac2{2n+1}$,
    alors, au rang suivant, on a
    \[\begin{array}{ll}u_{n+1}&=\dfrac{u_n}{1+u_n} =\dfrac{\dfrac2{2n+1}}{1+\dfrac2{2n+1}} =\dfrac{\dfrac2{2n+1}}{\dfrac{2n+3}{2n+1}}\\[2.2em] &=\dfrac2{2n+3} =\dfrac2{2(n+1)+1}\enar\]

    ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang $n+1$ suivant.

    Conclusion: D'après le principe de récurrence, la propriété $u_n=\dfrac2{2n+1}$ est donc vraie pour tout entier $n$.
  3. On a donc
    \[u_n=\dfrac2{2n+1} =\dfrac2{2n\lp1+\frac1{2n}\right)} =\dfrac1{n}\tm\dfrac1{1+\frac1{2n}}\]

    et donc, comme $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac1n=0$ et $\dsp\lim_{n\to+\infty}1+\dfrac1{2n}=1$, on obtient
    \[\lim_{n\to+\infty}u_n=0\]




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Exercice 2: Intersection dans l'espace d'une droite et d'un plan

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A(0;4;1)$, $B(1;3;0)$, $C(2;-1;-2)$ et $D(7;-1;4)$, ainsi que la droite $\Delta$ passant par le point $D$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2;-1;3)$.
  1. Démontrer que les points $A, B$ et $C$ ne sont pas alignés.
  2. Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$. et en déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
  4. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$

Correction exercice 2
  1. $\vec{AB}(1;-1;-1)$ et $\vec{AC}(2;-5;-3)$. Ces coordonnées ne sont pas proportionnelles, et donc ces vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
    On en déduit que les points $A,B$ et $C$ ne sont pas alignés (et définissent alors un plan).
  2. $\vec{AB}.\vec{u}=2+1-3=0$ et $\vec{AC}.\vec{u}=4+5-9=0$.
    Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$ : c'est donc un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    La droite $\Delta$ est par conséquent orthogonale au plan $(ABC)$.

    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $2x-y+3z+d=0$.
    Le point $A(0;4;1)$ appartient au plan $(ABC)$, et donc $0-4+3+d=0\iff d=1$.
    Ainsi une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $2x-y+3z+1=0$.
  3. La droite $\Delta$ passe par le point $D(7;-1;4)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(2;-1;3)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc: $\begin{cases} x=7+2t\\y=-1-t\\z=4+3t\end{cases} \qquad t\in\R$.
  4. Les coordonnées du point $H$ sont solution du système:
    \[\begin{array}{ll} \la\begin{array}{ll}x=7+2t\\y=-1-t\\z=4+3t\\2x-y+3z+1=0\enar\right. &\iff\la\begin{array}{l}x=7+2t\\y=-1-t\\z=4+3t\\2(7+2t)-(-1-t)+3(4+3t)+1=0\enar\right.\\[2.5em] &\iff\la\begin{array}{l}x=7+2t\\y=-1-t\\z=4+3t\\28+14t=0\enar\right. \\[2.5em] &\iff\la\begin{array}{ll}x=7+2t\\y=-1-t\\z=4+3t\\t=-2\enar\right.\\[2.5em] &\iff\la\begin{array}{ll}x=3\\y=1\\z=-2\\t=-2\enar\right.\enar\]


    Donc $H(3;1;-2)$.



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Voir aussi:
ccc