Oral du bac: suite, logarithme et exponentielle

Logarithme, suites récurrentes

  • L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
  • La qualité des raisonnements, de l'expression, et la précision des justifications prendront une part importante dans l'appréciation de l'interrogation orale.
  • Il s'agit d'une épreuve orale: il n'est pas indispensable de rédiger l'ensemble des réponses, des calculs, du raisonnement …
    Par contre vous devez être en mesure d'apporter toutes les justifications nécessaires.
    L'exposé de la méthode et du raisonnement sera pris en compte.

Exercice 1: Suite définie explicitement - Etude de fonction

Soit la fonction $f$ définie sur $\R_+$ par l'expression $f(x)=\dfrac{2-x}{x+3}$.
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par la relation $u_n=f(n)$.
  1. Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$. La suite $(u_n)$ peut-elle être arithmétique ? géométrique ?
  2. Dresser la tableau de variation de la fonction $f$.
  3. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Correction exercice 1
  1. $u_0=f(0)=\dfrac{2-0}{0+3}=\dfrac{2}{3}$, $u_1=f(1)=\dfrac{2-1}{1+3}=\dfrac{1}{4}$ et $u_2=f(2)=\dfrac{2-2}{2+3}=0$.
    On a alors: $u_1-u_0=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{12}$ et $u_2-u_1=\dfrac{1}{4}-0=\dfrac{1}{4}$.
    La suite $(u_n)$ n'est donc pas arithmétique.

    De même, $\dfrac{u_1}{u_0}\not=\dfrac{u_2}{u_1}=0$, et donc la suite $(u_n)$ n'est pas non plus géometrique.
  2. Pour tout $x>0$,
    \[ f'(x)=\dfrac{-1\tm(x+3)-(2-x)\tm1}{(x+3)^2} =\dfrac{-5}{(x+3)^2} \]

    et donc,
    \[\begin{tabular}{|c|cccc|}\hline $x$ & $0$ \hspace{1cm} && \hspace{1cm} & $+\infty$\\\hline $-5$ && $-$ && \\\hline $(x+3)^2$ && $+$ && \\\hline $f'(x)$ && $-$ && \\\hline &&&&\\ $f$ && \psline{->}(-1,0.4)(1.4,-0.4) && \\ &&&&\\\hline \end{tabular}\]


  3. On en déduite que la suite $(u_n)$ est décroissante.



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Exercice 2: Logarithme et exponentielles - Limites - Equation avec log et exp

Soit $f$ la fonction définie par l'expression $f(x)=\ln\left( e^x+e^{-x}\rp$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe dans un repère du plan.
  1. Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
  2. Etudier la limite de $f$ en $+\infty$.
  3. Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x)=x+\ln\lp1+e^{-2x}\rp$.
  4. Résoudre l'équation $f(x)=x+2$ en $+\infty$.

Correction exercice 2
  1. Le logarithme est défini sur $\R_+^*=]0;+\infty[$. $f(x)$ est ainsi défini pour les valeurs réelles de $x$ telles que $e^x+e^{-x}>0$.
    Or pour tout réel $x$, $e^x>0$ et $e^{-x}>0$, donc $e^x+e^{-x}>0$.
    $f$ est ainsi définie sur $\R$.
  2. $\dsp\lim_{x\to+\infty} e^x=+\infty$ et $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{e^x}=0$.
    Ainsi, par somme des limites, $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^x+e^{-x}=+\infty$, et, comme $\dsp\lim_{X\to+\infty}\ln\left( X\rp=+\infty$, par composition des limites, $\dsp\lim_{x\to+\infty}\ln\left( e^x+e^{-x}\rp=\lim_{X\to+\infty}\ln(X)=+\infty$.
  3. Pour tout réel $x$,
    \[f(x)=\ln\left( e^x+e^{-x}\rp=\ln\left( e^x\left( 1+e^{-2x}\rp\rp=\ln\left( e^x\rp+\ln\left( 1+e^{-2x}\rp=x+\ln\left( 1+e^{-2x}\rp\]


  4. \[\begin{array}{ll} f(x)=x+2&\iff x+\ln\lp1+e^{-2x}\rp=x+2\\[.5em] &\iff\ln\lp1+e^{-2x}\rp=2\\[.5em] &\iff 1+e^{-2x}=e^2\\[.5em] &\iff e^{-2x}=e^2-1\\[.5em] &\iff -2x=\ln\left( e^2-1\rp\\[.5em] &\iff x=-\dfrac12\ln\left( e^2-1\rp\enar\]





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Voir aussi:
ccc