Seuil pour une suite géométrique

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $1,2$ et de premier terme $u_0=2$.
  1. Donner la limite de cette suite.
  2. À partir de quel rang $n$ a-t-on $u_n\geq100$ ?

Correction
$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $1,2$ et de premier terme $u_0=2$.
  1. Comme la raison cette suite est $q=1,2>1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
  2. En utilisant la fonction logarithme, strictement croissante, on a
    \[\begin{array}{ll}u_n>100&\iff 2\tm1,2^n\geq100\\ &\iff1,2^n\geq50\\ &\iff\ln\lp1,2^n\rp\geq\ln(50)\\ &\iff n\ln(1,2)\geq\ln(50)\enar\]

    puis en divisant par $\ln(1,2)>0$, on obtient
    \[u_n>100\iff n\geq\dfrac{\ln(50)}{\ln(1,2)}\simeq21,5\]

    et donc à partir du rang $n=22$.


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