QCM (15 mars 2021, sujet 1)

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.

\[\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9,5) \psline(0,0)(5,0)(8,1.8)%DCB \pspolygon[linestyle=dashed](0,0)(8,1.8)(3,1.8)(0,0)%BADB \psline[linestyle=dashed](5,0)(3,1.8)(4,4)(4,0.95)%CASI \psline(0,0)(4,4)(5,0)(8,1.8)(4,4)%DSCBS \uput[dl](0,0){D}\uput[dr](5,0){C}\uput[ur](8,1.8){B}\uput[ul](3,1.8){A} \uput[u](4,4){S}\uput[d](4,0.95){I} \uput[ul](2,2){K}\uput[ur](4.5,2){L}\uput[ur](6,2.9){M} \psdots[dotstyle=+,dotangle=30,dotscale=1.85](2,2)(4.5,2)(6,2.9) \end{pspicture}\]


SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD dont toutes les arêtes ont la même longueur.
Le point I est le centre du carré ABCD. On suppose que: IC = IB = IS = 1.
Les points K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [SD], [SC] et [SB].


  1. Les droites suivantes ne sont pas coplanaires:
    a.  (DK) et (SD)   b.  (AS) et (IC)   c.  (AC) et (SB)   d.  (LM) et (AD)

    Pour les questions suivantes, on se place dans le repère orthonormé de l'espace $\left( I~;~ \overrightarrow{IC},~\overrightarrow{IB},~\overrightarrow{IS}\rp$.
    Dans ce repère, on donne les coordonnées des points suivants:
    \[I(0;0;0) \ ; \ A(-1;0;0) \ ; \ B(0;1;0) \ ; \ C(1;0;0) \ ; \ D(0;-1;0) \ ; \ S(0;0;1)\]


  2. Les coordonnées du milieu N de [KL] sont:
    a.  $\left(\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}\right)$   b. $\left(\dfrac{1}{4}~;~- \dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$   c. $\left(-\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$   d. $\left(-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$
  3. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AS}$ sont:
    a.  $\begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix}$   b.  $\begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$   c.  $\begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}$   d.  $\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}$
  4. Une représentation paramétrique de la droite (AS) est:
    a.  $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1-t\\y&t\\z&-t \end{array}\right. , (t \in \R)$   b.  $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1+2t\\y&0\\z&1 + 2t\end{array}\right. (t \in \R)$   c.  $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&t\\y&0\\z&1+t\end{array}\right.(t \in \R)$   d.  $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1-t\\y&1+t\\z&1-t\end{array}\right.(t \in \R)$
  5. Une équation cartésienne du plan (SCB) est:
    a.  $y+z-1 =0$   b. $x+y+z- 1=0$   c. $x-y+z=0$&   d. $x+z-1 =0$

Correction

  1. Réponse c.

    On peut procèder par élimination:
    • Les droites (DK) et (SD) sont sécantes en D donc coplanaires; on élimine a.
    • Les droites (AS) et (IC) sont sécantes en A donc coplanaires; on élimine b.
    • Les droites (LM) et (AD) sont toutes deux parallèles à (BC) donc parallèles entre elles; elles sont donc coplanaires; on élimine d.

  2. Réponse b.

    On calcule les coordonnées des milieux: le milieu K de [SD] a pour coordonnées $\lp0~;~-\frac{1}{2}~;~\frac{1}{2}\rp$, et le milieu L de [SC] a pour coordonnées $\lp\frac{1}{2}~;~0~;~\frac{1}{2}\rp$, et enfin le milieu N de [KL] a donc pour coordonnées $\lp\frac{1}{4}~;~-\frac{1}{4}~;~\frac{1}{2}\rp$.


  3. Réponse b.

  4. Réponse c.

    La droite (AS) a pour vecteur directeur $\overrightarrow{AS}\,(1~;~0~;~1)$ et donc la seule représentation qui convienne est la c.

  5. Réponse b.

    On peut là aussi procèder par élimination:
    • Le plan d'équation $y+z-1=0$ ne contient pas C $(1~;~0~;~0)$; on élimine a.
    • Le plan d'équation $x-y+z=0$ ne contient pas S $(0~;~0~;~1)$; on élimine c.
    • Le plan d'équation $x+z-1=0$ ne contient pas B $(0~;~1~;~0)$; on élimine d.



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