Probabilité de vente d'un produit, semaine après semaine

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Un commerçant étudie l'évolution des ventes d'un de ses produits afin de pouvoir anticiper ses commandes. Une étude auprès de ses clients montre que:
  • parmi les clients qui achètent ce produit une semaine donnée, 90% d'entre eux achètent aussi ce produit la semaine suivante;
  • permi les clients qui n'achètent pas ce produit une semaine donnée, 60% d'entre eux n'achètent pas ce produit la semaine suivante.

On choisit au hasard un client ayant acheté ce produit au cours de la semaine 1 et, pour $n\geqslant1$, on note $A_n$ l'événement: "le client achète le produit au cours de la semaine $n$", et $p_n=P(A_n)$ sa probabilité. On a ainsi $p_1=P(A_1)=1$.
    1. Reproduire et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous, relatif aux trois premières semaines.
      \[\psset{xunit=1.3cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-.4,-2)(4.2,2) \rput(0,0){$A_1$} \psline(.2,.2)(1.5,1)\rput(1.75,1){$A_2$} \psline(.2,-.2)(1.5,-1)\rput(1.75,-1){$\overline{A_2}$} \psline(2.1,1.2)(3.5,1.6)\rput(3.8,1.6){$A_3$} \psline(2.1,.8)(3.5,.4)\rput(3.8,.4){$\overline{A_3}$} \psline(2.1,-1.2)(3.5,-1.6)\rput(3.8,-1.6){$\overline{A_3}$} \psline(2.1,-.8)(3.5,-.4)\rput(3.8,-.4){$A_3$} \end{pspicture}\]

    2. Démontrer que $p_3=P(A_3)=0,85$.

  2. Démontrer que, pour tout entier $n\geqslant1$, on a $p_{n+1}=0,5p_n+0,4$.
  3. On pose, pour tout entier $n\geqslant1$, $v_n=p_n-0,8$.
    1. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
    2. Exprimer $v_n$, puis $p_n$, en fonction de $n$.
    3. Déterminer la limite de la suite $(p_n)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Correction
    1. Reproduire et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous, relatif aux trois premières semaines.
      \[\psset{xunit=1.3cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-.4,-2)(4.2,2) \rput(0,0){$A_1$} \psline(.2,.2)(1.5,1)\rput(1.75,1){$A_2$} \rput(.8,.9){90\%} \psline(.2,-.2)(1.5,-1)\rput(1.75,-1){$\overline{A_2}$} \rput(.8,-1){10\%} \psline(2.1,1.2)(3.5,1.6)\rput(3.8,1.6){$A_3$} \rput(2.8,1.6){90\%} \psline(2.1,.8)(3.5,.4)\rput(3.8,.4){$\overline{A_3}$} \rput(2.8,.3){10\%} \psline(2.1,-1.2)(3.5,-1.6)\rput(3.8,-1.6){$\overline{A_3}$} \rput(2.8,-1.6){60\%} \psline(2.1,-.8)(3.5,-.4)\rput(3.8,-.4){$A_3$} \rput(2.8,-.4){40\%} \end{pspicture}\]

    2. $p_3=P(A_3)=90\%\tm90\%+10\%\tm40\%=0,85$.

  2. En reprenant et adaptant l'arbre précédent, on a
    \[\psset{xunit=1.3cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-.4,-2)(4.2,2) %\rput(0,0){$A_1$} \psline(.2,.2)(1.5,1)\rput(1.75,1){$A_n$} \rput(.8,.9){$p_n$} \psline(.2,-.2)(1.5,-1)\rput(1.75,-1){$\overline{A_n}$} \rput(.8,-1){$1-p_n$} \psline(2.1,1.2)(3.5,1.6)\rput(3.8,1.6){$A_{n+1}$} \rput(2.8,1.6){90\%} \psline(2.1,.8)(3.5,.4)\rput(3.8,.4){$\overline{A_{n+1}}$} \rput(2.8,.3){10\%} \psline(2.1,-1.2)(3.5,-1.6)\rput(3.8,-1.6){$\overline{A_{n+1}}$} \rput(2.8,-1.6){60\%} \psline(2.1,-.8)(3.5,-.4)\rput(3.8,-.4){$A_{n+1}$} \rput(2.8,-.4){40\%} \end{pspicture}\]

    et alors
    \[p_{n+1}=0,9p_n+0,4(1-p_n)=0,5p_n+0,4\]

    1. Pour tout entier $n\geqslant1$,
      \[\begin{array}{ll}v_{n+1}&=p_{n+1}-0,8\\ &=0,5p_n+0,4-0,8\\ &=0,5p_n-0,4\\ &=0,5\left( p_n-0,8\rp=0,5v_n\enar\]

      ce qui montre que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,5$.
    2. On en déduit que, pour tout entier $n$, $v_n=v_1q^{n-1}$, soit, avec $v_1=p_1-0,8=0,2$
      \[v_n=0,2\tm0,5^n\]

      puis
      \[v_n=p_n-0,8\iff p_n=v_n+0,8=0,2\tm0,5^n+0,8\]


    3. Comme $0<q=0,5<1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}0,5^n=0$ et donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}p_n=0,8$. Au bout d'un grand nombre de semaines, la probabilité qu'un client achète ce produit tend vers 80%, ou encore qu'il achètera ce produit 8 semaines sur 10.


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