Primitive d'une fonction

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Soit

la fonction définie sur l'intervalle

par

1. Calculer la limite de en .
2. Etudier les variations de
Soit la primitive de sur qui s'annule en .
Déterminer le sens de variation de sur .
On définit sur les fonctions et par , et .
1. Etudier sur les variations de et .
2. Montrer que, pour tout , .
3. En déduire la limite de en .

Correction

1. est une fonction rationnelle, donc sa limite en est égale à la limite du rapport de ses termes de plus haut degré: .
2. Le dénominateur a un discriminant donc ne s'annule par sur . Ainsi, la fonction rationnelle est définie et dérivable sur , avec,
On a donc, par définition de , .
Or, d'après le tableau de variation précédent, pour tout , .
Ainsi, est croissante sur .
On définit sur les fonctions et par , et .
1. et sont, tout comme dérivables sur , donc sur , et
  .
  Or, sur , , et (car c'est un trinôme du second degré n'ayant pas de racine). Ainsi, pour , et donc, est décroissante sur .
  
  De même, , d'après le tableau de variation de . Ainsi, est croissante sur .
2. On a de plus, , et donc, pour tout , .
  
  De même, , et donc, pour tout , .
  En résumé, on a bien, pour tout , .
3. Comme , d'après le théorème des gendarmes, on en déduit que .

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