Oral de Bac - Variation d'une primitive - Encadrements d'intégrales

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Soit $F la fonction définie sur $]0;+\infty[ par $\displaystyle F(x)=\int_0^x\dfrac{e^t}{t}dt.
  1. Déterminer le sens de variation de $F.
  2. Prouver que, pour tout $t>0, $\dfrac{e^t}{t}>\dfrac1t.
    En déduire, pour $x\geqslant 1, le signe de $\varphi(x)=F(x)-\ln(x).
  3. Déduire de cette étude le comportement de $F en $+\infty.

Correction
  1. $F est la primitive qui s'annule en 1 de la fonction $f:x\mapsto \dfrac{e^x}{x}.
    En d'autres termes, on a $F'(x)=f(x) et $F(1)=0.
    En particulier, comme $e^x>0 sur $\R, on a $F'(x)=f(x)=\dfrac{e^x}{x}>0 sur $]0;+\infty[, ce qui montre que $F est strictement croissante.
  2. Comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R, on a $t>0\iff e^t>e^0=1, et donc, en divisant par $t>0, $\dfrac{e^t}{t}>\dfrac{1}{t}.
     
    Comme l'intégrale conserve l'ordre, pour $x>1, on a alors $\dsp\int_1^x\dfrac{e^t}{t}dt>\int_1^x\dfrac1tdt.
    Or $G(t)=\ln(t) est la primitive qui s'annule en 1 de $g(t)=\dfrac1t, et donc $\dsp\int_1^x\dfrac1tdt=G(x)=\ln(x).
    On a ainsi $\dsp\varphi(x)=F(x)-\ln(x)=\int_1^x\dfrac{e^t}{t}dt-\int_1^x\dfrac1tdt>0
  3. Pour $x>1, on a donc $\varphi(x)=F(x)-\ln(x)>0\iff F(x)>\ln(x).
    Or, $\dsp\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty, et donc d'après le corollaire du théorème des gendarmes, $\dsp\lim_{x\to+\infty}F(x)=+\infty.


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