Oral de Bac - Position relative de droites dans l'espace, représentations paramétriques

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Dans l'espace muni du repère orthonormal $$\left( O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp$ on considère les droites

de représentations paramétriques:

$D_1: \la\begin{array}{ll} x&=2-3t\\y&=1+t\\z&=-3+2t\enar\right., \qquad D_2: \la\begin{array}{ll} x&=6t\\y&=2-2t\\z&=5-4t\enar\right., \qquad D_3: \la\begin{array}{ll} x&=7+2t\\y&=2+2t\\z&=-6-t\enar\right. \text{ avec } t\in\R$

Etudier la position relative des droites

, puis

, et enfin

Correction
Le vecteur $$\vec{u} (-3; 1; 2)$ est un vecteur directeur de

.
Le vecteur $$\vec{v} (6; -2; -4)$ est un vecteur directeur de

.
Les vecteurs $$\vec{u}$ et $$\vec{v}$ sont colinéaires, car $$\vec{v}=-2\vec{u}$ , et les droites

sont donc parallèles.
Elles peuvent être confondues ou strictement parallèles.

est un point de

. Dans la représentation paramétrique de

$\la\begin{array}{ll} 2&=6t\\1&=2-2t\\-3&=5-4t\enar\right. \iff\la\begin{array}{ll} t=\dfrac13 \\ t=\dfrac12 \\ t=2\enar\right.$

ce qui est impossible est montre donc que $$M\notin D_2$ . Ainsi,

sont strictement parallèles.

Le vecteur $$\vec{w} (2; 2; -1)$ est un vecteur directeur de

. Comme $$\vec{u}$ et $$\vec{w}$ ne sont pas colinéaires, les droites

ne sont pas parallèles.
Soit

un éventuel point commun à

, alors alors il existe deux réels

tels que

$\la\begin{array}{lcccl} x&=&2-3t&=&7+2t'\\y&=&1+t&=&2+2t'\\z&=&-3+2t&=&-6-t'\enar\right.\Longrightarrow \la\begin{array}{ccl} 2t'&=&-5-3t\\2t'&=&-1+t\\-3+2t&=&-6-t'\enar\right.$

Les deux premières équations donnent $$2t'=-5-3t=-1+t\Longrightarrow t=-1$ , et donc,

. La dernière équation est aussi vérifiée.
Ces deux droites sont donc sécantes en

.

$$\vec{v}$ et $$\vec{w}$ ne sont pas colinéaires et les droites

ne sont donc pas parallèles. On cherche de même que précédemment un point d'intersection

$\la\begin{array}{lcccl} x&=&6t&=&7+2t'\\y&=&2-2t&=&2+2t'\\z&=&5-4t&=&-6-t'\enar\right.\Longrightarrow \la\begin{array}{ccl} 2t'&=&-7+6t\\2t'&=&-2t\\5-4t&=&-6-t'\enar\right.$

Les deux premières équations donnent $$2t'=-7+6t=-2t\Longrightarrow t=\dfrac78$ et donc $$t'=-t=-\dfrac78$ .
Par contre la dernière équation n'est pas vérifiée: $$5-4t=5+4\tm\dfrac78=\dfrac{68}{8} \not= -6-t'=-6-\dfrac78=-\dfrac{55}{8}$ , et il n'existe donc pas de réels

; les droites

ne sont pas sécantes.

Cacher la correction

Tag:Géométrie dans l'espace

Autres sujets au hasard:

Voir aussi: