Oral de Bac - Équation du 2nd degré en exponentielle

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

  1. Résoudre dans $\R$ l'équation $e^{2x}-2e^x-3=0$.
    (on pourra utiliser le changement de variable $X=e^x$)
  2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=e^{2x}-2e^x-3$.
    Tracer l'allure de sa courbe représentative.

Correction
  1. Soit $X=e^x$, alors $e^{2x}-2e^x-3=0\iff X^2-2X-3=0$. Cette équation du second degré admet deux solutions réelles $X_1=-1$ et $X_2=3$.
    On revient ensuite à l'inconnue $x$:
    • $e^x=X_1=-1$ n'a pas de solution, une exponentielle étant toujours strictement positive;
    • $e^x=X_2=3\iff x=\ln(3)$.
    L'équation $e^{2x}-2e^x-3=0$ a donc comme unique solution rélle $x=\ln(3)$.
  2. On a $f'(x)=2e^{2x}-2e^x$.
    On cherche le signe de cette dérivée, donc à résoudre
    \[\begin{array}{ll}f'(x)>0\iff 2e^{2x}-2e^x>0 &\iff e^{2x}>e^x\\ &\iff 2x>x\\ &\iff x>0\enar\]

    et on a donc
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline $f'(x)$ && $-$ &\zb& $+$ &\\\hline &&&&&\\ $g$ && \Large{$\searrow$}&& \Large{$\nearrow$}&\\ &&&$-4$&&\\\hline \end{tabular}\]

    et la courbe qui va avec (sur laquelle on n'oublie pas de situer la solution trouvée à la question précédente):
    \[\psset{unit=1cm}\begin{pspicture*}(-5.2,-5.3)(5.2,5.3) \psline{->}(-5.2,0)(5.2,0) \psline{->}(0,-5.3)(0,5.3) \multido{\i=-5+1}{11}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)\rput(\i,-.3){\i} \psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.2,\i){\i} } \psplot{-5}{5}{2.718 x 2 mul exp -2 2.178 x exp mul add -3 add} \end{pspicture*}\]



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