Oral de Bac - Équation du 2nd degré en exponentielle

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Résoudre dans $\R l'équation $e^{2x}-2e^x-3=0.
(on pourra utiliser le changement de variable $X=e^x)

Correction
Soit $X=e^x, alors $e^{2x}-2e^x-3=0\iff X^2-2X-3=0. Cette équation du second degré admet deux solutions réelles $X_1=-1 et $X_2=3.
On revient ensuite à l'inconnue $x:
  • $e^x=X_1=-1 n'a pas de solution, une exponentielle étant toujours strictement positive;
  • $e^x=X_2=3\iff x=\ln(3).
L'équation $e^{2x}-2e^x-3=0 a donc comme unique solution rélle $x=\ln(3).

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