Logarithme composé avec fraction rationnelle, et asymptote oblique
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Soit
la fonction définie sur
par:
.
On note
sa courbe représentative dans un repère
.
![$f](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex1/1.png)
![$]\,0;+\infty[](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex1/2.png)
![$ f(x)=x+\ln\lp\dfrac{x}{2x+1}\right)](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex1/3.png)
On note
![$\mathcal{C}_f](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex1/4.png)
![$\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex1/5.png)
- Etudier les limites de
en
et en
.
- Etudier les variations de
et dresser son tableau de variation.
-
- Montrer que la droite
d'équation
est asymptote à
en
.
- Etudier la position de
par rapport à
.
- Montrer que la droite
- Montrer que l'équation
admet une solution unique
et justifier que
.
- Tracer
et
.
Correction
Soit
la fonction définie sur
par:
.
Cacher la correction
Soit
![$f](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex1_c/1.png)
![$]\,0;+\infty[](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex1_c/2.png)
![$ f(x)=x+\ln\lp\dfrac{x}{2x+1}\rp](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex1_c/3.png)
-
, et donc, par composition des limites
.
Ainsi, par addition des limites,.
,
et donc, par composition des limites,.
Enfin, par addition des limites,.
- Pour tout
,
, donc
,
avec, et donc
.
Ainsi, pour tout,
.
Pour tout,
, et donc,
, d'où,
.
Ainsi,est strictement croissante sur
.
-
- Pour tout
,
.
Or,,
et donc, par composition des limites,.
Ainsi,et la droite
est asymptote oblique à
en
.
- On avait, pour tout
,
. Pour tout
,
, et donc,
, d'où
et donc,
Ainsi,est toujours au dessous de
.
- Pour tout
-
est continue sur
, strictement croissante, et
et
.
Ainsi, d'après le théorème de la bijection (ou théorème des valeurs intermédiaires version forte), il existe un uniquesolution de l'équation
.
De plus,et
. Ainsi, d'après le même théorème, on a bien
.
-
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