Logarithme composé avec fraction rationnelle, et asymptote oblique
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Soit la fonction définie sur par:
.
On note sa courbe représentative dans un repère .
On note sa courbe représentative dans un repère .
- Etudier les limites de en et en .
- Etudier les variations de et dresser son tableau de
variation.
-
- Montrer que la droite d'équation est
asymptote à en .
- Etudier la position de par rapport à .
- Montrer que la droite d'équation est
asymptote à en .
- Montrer que l'équation admet une solution unique et justifier que .
- Tracer et .
Correction
Soit la fonction définie sur par: .
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Soit la fonction définie sur par: .
- , et donc, par composition des
limites
.
Ainsi, par addition des limites, .
,
et donc, par composition des limites, .
Enfin, par addition des limites, .
- Pour tout ,
, donc
,
avec , et donc .
Ainsi, pour tout , .
Pour tout , , et donc, , d'où, .
Ainsi, est strictement croissante sur .
-
- Pour tout ,
.
Or, ,
et donc, par composition des limites, .
Ainsi, et la droite est asymptote oblique à en .
- On avait, pour tout ,
.
Pour tout , ,
et donc, ,
d'où et donc,
Ainsi, est toujours au dessous de .
- Pour tout ,
.
- est continue sur , strictement croissante,
et et
.
Ainsi, d'après le théorème de la bijection (ou théorème des valeurs intermédiaires version forte), il existe un unique solution de l'équation .
De plus, et . Ainsi, d'après le même théorème, on a bien . -
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