Fonction rationnelle en exponentielle

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\dfrac{e^x+2}{e^x+1}$.
  1. Déterminer les limites en $-\infty$ et $+\infty$ de $g$. Interpréter graphiquement ces résultats.
  2. Étudier le sens de variation de $g$.
  3. Tracer l'allure de la courbe de $g$.

Correction
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\dfrac{e^x+2}{e^x+1}$.
  1. On a $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^x=0$ d'où $\dsp\lim_{x\to-\infty}g(x)=2$.
    En $+\infty$, on a $g(x)=\dfrac{e^x\lp1+\dfrac2{e^x}\right)}{e^x\lp1+\dfrac1{e^x}\right)} =\dfrac{1+\dfrac2{e^x}}{1+\dfrac1{e^x}} $ avec $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac2{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac1{e^x}=0$ d'où $\dsp\lim_{x\to+\infty}=1$.
    On en déduit que les droites d'équations $y=2$ et $y=1$ sont des asymptotes verticales à la courbe de $g$, respectivement en $-\infty$ et $+\infty$.
  2. On a $g=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=e^x+2$, donc $u'(x)=e^x$ et $v(x)=e^x+1$, donc $v'(x)=e^x$. On obtient alors $g'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ soit $g'(x)=\dfrac{e^x\left( e^x+1\rp-\left( e^x+2\rp e^x}{\left( e^x+1\rp^2} =\dfrac{-e^x}{\left( e^x+1\rp^2}$

    \[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $+\infty$ \\\hline $-e^x$ && $-$ &\\\hline $\left( e^x+1\rp^2$ && $+$ &\\\hline $g'(x)$ && $-$ &\\\hline &2&&\\ $g$&&\Large{$\searrow$}&\\ &&&1\\\hline \end{tabular}\]


  3. On trace alors l'allure de la courbe, avec ses asymptotes
    \[\psset{xunit=2cm,yunit=1.8cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture*}(-3.5,-.6)(3.5,2.7) \psline{->}(-3.5,0)(3.5,0) \psline{->}(0,-1)(0,2.7) \psplot[linewidth=1.7pt]{-3.5}{3.5}{2.718 x exp 2 add 2.718 x exp 1 add div} \rput(1.2,1.4){$\mathcal{C}_f$} \psline[linecolor=blue](-4,2)(4,2)\rput(-1,2.2){\blue$y=2$} \psline[linecolor=blue](-4,1)(4,1)\rput(-1,.8){\blue$y=1$} \rput(-.1,-.2){0} \psline(-.1,1.5)(.1,1.5)\rput[l](.1,1.6){\small1,5} \end{pspicture*}\]



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