Encadrement d'une intégrale (2)
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On se propose de donner une valeur approchée de
l'intégrale:
-
- Etudier les variations de la fonctions
définie sur 
par:
.
- Montrer que, pour tout nombre réel
de 
,
.
- Etudier les variations de la fonctions
-
et 
sont les intégrales définies par:
- Déterminer des nombres réels
et 
pour lesquels la
fonction 
définie par 
est une primitive de
.
En déduire que 
.
- Utiliser l'encadrement de
obtenu précédemment pour
démontrer que 
.
- Démontrer que
.
- Déduire de ce qui précède un encadrement de
, puis en
donner une valeur approchée à 
près.
- Déterminer des nombres réels
Correction
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-
-
est une fonction dérivable sur 
, comme quotient de
fonctions dérivables sur 
et dont le dénominateur ne
s'annule pas sur 
, avec,
pour tout 
,
Comme, pour tout
, 
, 
, et
, on a donc 
, et donc,
est décroissante sur 
.
-
est décroissante sur 
, donc
pour tout 
,
.
Or,
,
et 
.
On a donc bien, pour tout nombre réel
de 
,
.
-
-
et 
sont les intégrales définies par:
- Pour tout réel
,
.
Aini, pour tout réel
,
.
Ainsi, la fonction
définie par
est une primitive de
.
On a alors,
.
- La multiplication par
et l'intégrale
conservent l'ordre, et donc,
avec
, et on a donc,
.
-
.
-
avec, à
près:
et
.
Ainsi,
.
- Pour tout réel
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Tags:IntégralesFonctions
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