Bac 2022 (12 mai): Arbre et loi binomiale
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord.
Dans l'état d'Oklahoma, aux États-Unis, 70 % des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose.
Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que :
Partie A
Des vétérinaires capturent un coyote d'Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l'ehrlichiose.
On considère les évènements suivants :
On note
et
respectivement les évènements contraires de M et T.
Partie B
On rappelle que la probabilité qu'un coyote capturé au hasard présente un test positif est de
.
Dans l'état d'Oklahoma, aux États-Unis, 70 % des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose.
Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que :
- Si le coyote est malade, le test est positif dans 97 % des cas.
- Si le coyote n'est pas malade, le test est négatif dans 95 % des cas.
Partie A
Des vétérinaires capturent un coyote d'Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l'ehrlichiose.
On considère les évènements suivants :
- M: « le coyote est malade »;
- T: « le test du coyote est positif ».
On note


- Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation.
- Déterminer la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif.
- Démontrer que la probabilité de T est égale à
.
- On appelle « valeur prédictive positive du test » la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif.
Calculer la valeur prédictive positive du test. On arrondira le résultat au millième. -
- Par analogie avec la question précédente, proposer une définition de la « valeur prédictive négative du test » et calculer cette valeur en arrondissant au millième.
- Comparer les valeurs prédictives positive et négative du test, et interpréter.
Partie B
On rappelle que la probabilité qu'un coyote capturé au hasard présente un test positif est de

- Lorsqu'on capture au hasard cinq coyotes, on assimile ce choix à un tirage avec remise.
On notela variable aléatoire qui à un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard associe le nombre de coyotes dans cet échantillon ayant un test positif.
- Quelle est la loi de probabilité suivie par
? Justifier et préciser ses paramètres.
- Calculer la probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif. On arrondira le résultat au centième.
- Un vétérinaire affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif : cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
- Quelle est la loi de probabilité suivie par
- Pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d'un coyote présentant un test positif. Combien doivent-ils capturer de coyotes pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux présente un test positif soit supérieure à
?
Correction
Partie A
Partie B
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Partie A
-
- D'après l'arbre, la probabilité que le coyote soit malade
et que son test soit positif est
- D'après l'arbre, ou la formule des probabilités totales,
- La valeur prédictive positive du test est la probabilité conditionnelle
-
- Par analogie avec la question précédente, la « valeur prédictive négative du test » est la probabilité que le coyote ne soit effectivement pas malade sachant que son test est négatif, et vaut
- La valeur prédictive positive est plus grande que celle négative: le test est donc plus fiable pour diagonostiquer un animal malade qu'un animal sain.
- Par analogie avec la question précédente, la « valeur prédictive négative du test » est la probabilité que le coyote ne soit effectivement pas malade sachant que son test est négatif, et vaut
Partie B
-
- On répète
fois l'expérience aléatoire "capturer un coyote", dont le succès est "le coyote a un test positif" de probabilité
. Ces répétitions sont identiques et indépendantes (car on l'assimile à un tirage avec remise).
Enfin, la variable aléatoireest égale au nombre de succès sur ces 5 répétitions, c'est-à-dire au nombre de coyotes dont le test est positif.
On en déduit que cette variable aléatoiresuit la loi binomiale de paramètres
et
.
- La probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif est, à l'aide de la calculatrice,
- La probabilité qu'au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif est
ce qui montre que l'affirmation du vétérinaire est vraie.
- On répète
- On capture donc
coyotes, et on note
la variable aléatoire égale au nombre de coyotes ayant un test positif dans cet échantillon. Comme précédemment,
suit la loi binomiale de paramètres
et
.
On cherchetel que
On a
et donc
soit, en prenant le logarithme qui est strictement croissant (donc l'ordre est conservé), puis en divisant par(donc l'ordre est changé):
Il faut donc capturer au moins 4 coyote.
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