Bac 2021 (sujet 1): Suite récurrente

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

La suite $\left( u_n\rp$ est définie sur $\N$ par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n+1} = \dfrac34u_n + \dfrac14n + 1.\]




  1. Calculer, en détaillant les calculs, $u_1$ et $u_2$ sous forme de fraction irréductible.


    L'extrait, reproduit ci-contre, d'une feuille de calcul réalisée avec un tableur présente les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.


    \[\begin{tabular}{|c|*2{p{2.4cm}|}}\hline & A&B \\ \hline 1 &$n$&$u_n$\\ \hline 2 &0 &1\\ \hline 3 &1 &1,75\\ \hline 4 &2 &2,5625\\ \hline 5 &3 &3,421875\\ \hline 6 &4 &4,31640625\\ \hline \end{tabular}\]




    1. Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ dans la colonne B ?
    2. Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $n \leqslant u_n \leqslant n + 1$.
    2. En déduire, en justifiant la réponse, le sens de variation et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    3. Démontrer que :
      \[\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n}n = 1\]


  4. On désigne par $\left( v_n\rp$ la suite définie sur $\N$ par $v_n=u_n-n$
    1. Démontrer que la suite $\left( v_n\rp$ est géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$.
    2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$,on a: $u_n = \lp\dfrac34\rp^n+n$.

Correction
  1. Pour $n=0$, $u_1=\dfrac34u_0+\dfrac14\tm0+1=\dfrac34\tm1+1=\dfrac74$.
    Pour $n=1$, $u_1=\dfrac34u_1+\dfrac14\tm1+1=\dfrac34\tm\dfrac74+\dfrac14+1=\dfrac{41}{16}$.


    1. La formule, étirée ensuite vers le bas, que l'on peut écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ dans la colonne B est: = 3/4 * B2 + 1/4 * A2 +1
    2. La suite $\left(u_n\right)$ semble croissante.
    1. Soit $\mathcal{P}_n$ la propriété: $n \leqslant u_n \leqslant n + 1$.
      Initialisation
      Pour $n=0$, $u_0=1$ et $0 \leqslant 1 \leqslant 1$ donc $\mathcal{P}_0$ est vraie.

      Hérédité
      Supposons que, pour un certain entier $n$, $\mathcal{P}_n$ est vraie, c'est-à-dire: $n \leqslant u_n \leqslant n+1$.
      Alors,
      \[\begin{array}{ll}&n\leqslant u_n \leqslant n+1\\[.6em] \iff&\dfrac34n\leqslant\dfrac34u_n\leqslant\dfrac34(n+1)\\[.8em] \iff&\dfrac34n +\dfrac14n\leqslant\dfrac34u_n+\dfrac14n\leqslant\dfrac34(n+1)+\dfrac14n\\[.6em] \iff&n \leqslant\dfrac34u_n+\dfrac14n \leqslant n+\dfrac34\\[7pt] \iff&n+1 \leqslant\dfrac34u_n+\dfrac14n+1\leqslant n+\dfrac34+1\\ \iff&n+1 \leqslant u_{n+1}\leqslant n+\dfrac74\leqslant n+2\enar\]

      ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang $n+1$.

      Conclusion On vient donc de démonter, d'après le principe de récurrence, que, pour tout entier $n\geqslant 0$, $n \leqslant u_n \leqslant n + 1$.
    2. D'après la question précédente, pour tout $n$, $n\leqslant u_n \leqslant n+1$ donc aussi, au rang suivant, $n+1 \leqslant u_{n+1} \leqslant n+2$.
      On a alors,
      \[n \leqslant u_n \leqslant n+1 \leqslant u_{n+1} \leqslant n+2\]

      et donc, entre autre que $u_n \leqslant u_{n+1}$, c'est-à-dire que la suite $(u_n)$ est croissante.

      On a aussi de ces inégalités que $n\leqslant u_n$, et comme $\dsp\lim_{n\to +\infty} n = +\infty$ donc, par comparaison (corollaire du théorème des gendarmes), $\dsp\lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty$.
    3. Pour tout $n$, $n\leqslant u_n \leqslant n+1$ donc on a aussi
      \[1 \leqslant \dfrac{u_n}{n} \leqslant \dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n}\]

      avec $\dsp\lim_{n \to +\infty} 1+\dfrac{1}{n}=1$, donc, d'après le théorème des gendarmes: $\dsp\lim_{n\to +\infty} \dfrac{u_n}{n}=1$.
  4. On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n = u_n - n$
    1. Pour tout $n$, $v_n=u_n-n$
      \[\begin{array}{ll}v_{n+1}&=u_{n+1} - (n+1) \\[.4em] &=\dfrac34u_n + \dfrac{1}{4}n+1 -n-1\\[.7em] &=\dfrac34u_n -\dfrac34n\\[.7em] &=\dfrac34\left( u_n -n\rp\\[.7em] &=\dfrac{3}{4}v_n\enar\]


      Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac{3}{4}$ et de premier terme $v_0=u_0-0=1$
    2. On en déduit que, pour tout $n$,
      \[v_n=v_0\times q^n = \lp\dfrac34\rp^n\]


      et donc aussi que
      \[u_n=v_n+n=\lp\dfrac34\rp^n+n\]



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