Bac 2021 (Centres étrangers): Arbre pondéré et loi binomiale

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Dans tout cet exercice, les probabilités seront arrondies, si nécessaire, à $10^{-3}$.
D'après une étude, les utilisateurs réguliers de transports en commun représentent 17 % de la population française.
Parmi ces utilisateurs réguliers, 32 % sont des jeunes âgés de 18 à 24 ans. (Source : TNS-Sofres)

Partie A :

On interroge une personne au hasard et on note :
  • $R$ l'évènement : « La personne interrogée utilise régulièrement les transports en commun ».
  • $J$ l'évènement : « La personne interrogée est âgée de 18 à 24 ans ».



  1. Représentez la situation à l'aide de cet arbre pondéré, que vous recopierez sur votre copie, en y reportant les données de l'énoncé.

    \[\psset{xunit=1.3cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-.4,-2)(4.2,2) %\rput(0,0){$A_1$} \psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.75,1){$R$} \psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.75,-1){$\overline{R}$} \psline(2.1,1.2)(3.5,1.6)\rput(3.8,1.6){$J$} \psline(2.1,.8)(3.5,.4)\rput(3.8,.4){$\overline{J}$} \psline(2.1,-1.2)(3.5,-1.6)\rput(3.8,-1.6){$\overline{J}$} \psline(2.1,-.8)(3.5,-.4)\rput(3.8,-.4){$J$} \end{pspicture}\]


  2. Calculer la probabilité $P(R \cap J)$.
  3. D'après cette même étude, les jeunes de 18 à 24 ans représentent 11 % de la population française.
    Montrer que la probabilité que la personne interrogée soit un jeune de 18 à 24 ans n'utilisant pas régulièrement les transports en commun est 0,056 à $10^{-3}$ près.
  4. En déduire la proportion de jeunes de 18 à 24 ans parmi les utilisateurs non réguliers des transports en commun.

Partie B :

Lors d'un recensement sur la population française, un recenseur interroge au hasard 50 personnes en une journée sur leur pratique des transports en commun.
La population française est suffisamment importante pour assimiler ce recensement à un tirage avec remise.
Soit $X$ la variable aléatoire dénombrant les personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les 50 personnes interrogées.


  1. Déterminer, en justifiant, la loi de $X$ et préciser ses paramètres.
  2. Calculer $P(X = 5)$ et interpréter le résultat.
  3. Le recenseur indique qu'il y a plus de 95 % de chance pour que, parmi les $50$ personnes interrogées, moins de $13$ d'entre elles utilisent régulièrement les transports en commun.
    Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier votre réponse.
  4. Quel est le nombre moyen de personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les $50$ personnes interrogées ?

Correction
Bac centres étrangers, 9 juin 2021

Partie A.

  1. \[\psset{xunit=1.3cm,yunit=.8cm} \begin{pspicture}(-.4,-2)(4.2,2) %\rput(0,0){$A_1$} \psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.75,1){$R$} \rput(.8,.9){17\%} \psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.75,-1){$\overline{R}$} \psline(2.1,1.2)(3.5,1.6)\rput(3.8,1.6){$J$} \rput(2.8,1.7){32\%} \psline(2.1,.8)(3.5,.4)\rput(3.8,.4){$\overline{J}$} \psline(2.1,-1.2)(3.5,-1.6)\rput(3.8,-1.6){$\overline{J}$} \psline(2.1,-.8)(3.5,-.4)\rput(3.8,-.4){$J$} \end{pspicture}\]


  2. $P(R\cap J)=17\%\tm32\%\simeq0,054$
  3. On sait donc de plus que $P(J)=11\%$ et on cherche $P\left( J\cap\overline{R}\rp$.
    On a donc, d'après la formule des probabilités totales,
    \[P(J)=P(J\cap R)+P(J\cap\overline{R})\]

    d'où
    \[P\left( J\cap\overline{R}\rp=P(J)-P(J\cap R) \simeq11\%-0,054=0,056\]


  4. On cherche cette fois la probabilité conditionnelle
    \[P_{\overline{R}}(J) =\dfrac{P\left( J\cap \overline{R}\right)}{P\left(\overline{R}\right)} \simeq\dfrac{0,056}{1-0,17}\simeq0,067\]


Partie B.
  1. On répète $n=50$ fois l'expérience aléatoire "interroger une personne sur ses pratiques des transports en commun", dont le succès est "la personne utilise régulièrement les transports en commun" de probabilité $p=P(R)=17\%$ (de la partie A).
    Ces répétitions sont supposées identiques et indépendantes.
    On note enfin $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès, c'est-à-dire au nombre de personnes sur ces 50 interrogées qui utilisent régulièrement les transports en commun.

    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(50;0,17)$.
  2. On a donc, avec la calculatrice
    \[P(X=5)=\binom{50}{5}\tm0,17^5\tm0,83^{45}\simeq0,069\]


  3. On calcule la probablité correspondante, à l'aide de la calculatrice:
    \[P(X<13)=P(X\leq12)\simeq 0,93<0,95\]

    ce qui indique que l'affirmation du recenseur est fause.
  4. Le nombre moyen est donné par l'espérance, soit ici
    \[E(X)=np=50\tm0,17=8,5\]



Cacher la correction


Tag:Probabilités

Autres sujets au hasard: Lancer de dés

Voir aussi:
LongPage: h2: 1 - h3: 0