Bac 2015 - Géométrie dans l'espace

Dans un repère orthonormé (O, I, J, K) d'unité 1 cm, on considère les points , , , .


Un point se déplace sur la droite dans le sens de vers à la vitesse de 1cm par seconde.
Un point se déplace sur la droite dans le sens de vers à la vitesse de 1cm par seconde.
À l'instant le point est en et le point est en .
On note et les positions des points et au bout de secondes, désignant un nombre réel positif.
On admet que et , ont pour coordonnées : et .


Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1. 1. La droite est parallèle à l'un des axes , ou . Lequel ?
   2. La droite se trouve dans un plan parallèle à l'un des plans , ou . Lequel ? On donnera une équation de ce plan .
   3. Vérifier que la droite , orthogonale au plan , coupe ce plan au point .
   4. Les droites et sont-elles sécantes ?
2. 1. Montrer que .
   2. À quel instant la longueur est-elle minimale?

Correction

1. 1. Un vecteur directeur de la droite est . La droite est donc parallèle à l'axe .
   2. est un vecteur directeur de la droite qui est donc incluse dans un plan parallèle à
      Comme le plan a pour équation cartésienne .
   3. On a et , ce qui montre que ces vecteurs sont colinéaires, et ainsi que est un point de la droite .
      De plus , et donc .
      Ainsi, est bien le point d'intersection de et de .
      
       
      Remarque: , donc , et comme est parallèle au plan , est bien orthogonale au plan . Cette justification n'était par contre pas demandée…
   4. est incluse dans , et coupe en .
      Ainsi, si et sont sécantes, elles le sont nécessairement au point .
      Or, n'est pas colinéaire à , ce qui montre que .
      Ainsi, et ne sont pas sécantes.
      
       
      Autre méthode. On peut aussi chercher directement l'éventuelle intersection des deux droites à l'aide de leur représentation paramétrique:
      
      
      
      On cherche alors et tels que . Or ce système n'a pas de solution, et donc et pas d'intersection et ne sont donc pas sécantes.
2. 1. donc .
   2. est positif, donc est minimale quand son carré est minimal. On définit la fonction sur par l'expression .
      est une fonction du second degré avec .
      Ainsi , et donc est décroissante pour , et donc croissante pour .
      Ainsi , donc , admet un minimum en .

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