Bac 2015 - Géométrie dans l'espace
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Dans un repère orthonormé (O, I, J, K) d'unité 1 cm, on considère les points , , , .
Un point se déplace sur la droite dans le sens de vers à la vitesse de 1cm par seconde.
Un point se déplace sur la droite dans le sens de vers à la vitesse de 1cm par seconde.
À l'instant le point est en et le point est en .
On note et les positions des points et au bout de secondes, désignant un nombre réel positif.
On admet que et , ont pour coordonnées : et .
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
-
- La droite est parallèle à l'un des axes , ou . Lequel ?
- La droite se trouve dans un plan parallèle à l'un des plans , ou . Lequel ? On donnera une équation de ce plan .
- Vérifier que la droite , orthogonale au plan , coupe ce plan au point .
- Les droites et sont-elles sécantes ?
-
- Montrer que .
- À quel instant la longueur est-elle minimale?
Correction
Cacher la correction
-
- Un vecteur directeur de la droite est . La droite est donc parallèle à l'axe .
- est un
vecteur directeur de la droite qui est donc incluse dans un
plan parallèle à
Comme le plan a pour équation cartésienne . - On a et
, ce qui montre que ces vecteurs
sont colinéaires, et ainsi que est un point de la droite
.
De plus , et donc .
Ainsi, est bien le point d'intersection de et de .
- est incluse dans , et coupe
en .
Ainsi, si et sont sécantes, elles le sont nécessairement au point .
Or, n'est pas colinéaire à , ce qui montre que .
Ainsi, et ne sont pas sécantes.
On cherche alors et tels que . Or ce système n'a pas de solution, et donc et pas d'intersection et ne sont donc pas sécantes.
-
- donc .
- est positif, donc est minimale quand son carré est minimal.
On définit la fonction sur par l'expression
.
est une fonction du second degré avec .
Ainsi , et donc est décroissante pour , et donc croissante pour .
Ainsi , donc , admet un minimum en .
Cacher la correction
Tag:Géométrie dans l'espace
Voir aussi: