Bac 2013 - suite récurrente, récurrence, somme de termes

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Bac S, 20 juin 2013, 5 points
Soit la suite numérique

définie sur

par :

1. Calculer et . On pourra en donner des valeurs approchées à près.
2. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
1. Démontrer que pour tout entier naturel ,
2. Démontrer que pour tout entier naturel ,
3. En déduire une validation de la conjecture précédente.
On désigne par la suite définie sur par .
1. Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison .
2. En déduire que pour tout entier naturel ,
3. Déterminer la limite de la suite .
Pour tout entier naturel non nul , on pose:
1. Exprimer en fonction de .
2. Déterminer la limite de la suite .

Correction

1. On calcule les premiers termes, par exemple en utilisant le mode récurrence de la calculatrice, et on obtient: ; ; ;
2. On peut donc émettre la conjecture que la suite est croissante. On pourra en tout cas affirmer qu'elle n'est pas décroissante.
1. Nous allons montrer par récurrence, pour tout entier naturel , la propriété : . Initialisation : Puisque l'on a et , on vérifie bien : : la propriété est bien vraie.
  
  Hérédité : Pour un entier naturel donné, on suppose la propriété vraie. On a . Par hypothèse de récurrence : En multipliant par un nombre positif: , soit Puis, en ajoutant un même nombre dans chaque membre : Ce qui donne : . On a donc , c'est à dire que la propriété est encore vraie. Conclusion: Puisque la propriété est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire que pour tout entier naturel , on a vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel , on a bien .
2. On a donc bien . Comme on l'a montré à la question précédente, pour tout naturel, on a ce qui équivaut à dire que la différence est positive, et elle le reste en étant multipliée par , donc la différence entre deux termes consécutifs étant positive, on confirme bien que notre conjecture était correcte : la suite est bien croissante, dès le rang 0.
1. Exprimons, pour un entier naturel quelconque, en fonction de : Donc . La relation de récurrence obtenue confirme que la suite est bien géométrique de raison et de premier terme .
2. On peut donc en déduire que pour totu entier , . Enfin, puisque l'on a, pour tout , , on en déduit : , et donc on aboutit bien à l'expression demandée : .
3. Puisque la raison est strictement comprise entre et , on en déduit que la limite de la suite est 0, et donc par limite d'une somme de suites, la limite de la suite est donc , et la suite est donc divergente.
1. est la somme de premiers termes de la suite .
2. On en déduit: . Puisque on a : , et donc: . De plus , et donc finalement, par limite d'une somme, .

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