Bac 2013 - suite récurrente, récurrence, somme de termes
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Bac S, 20 juin 2013, 5 points
Soit la suite numérique
définie sur
par :
Soit la suite numérique



-
- Calculer
et
. On pourra en donner des valeurs approchées à
près.
- Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
- Calculer
-
- Démontrer que pour tout entier naturel
,
- Démontrer que pour tout entier naturel
,
- En déduire une validation de la conjecture précédente.
- Démontrer que pour tout entier naturel
- On désigne par
la suite définie sur
par
.
- Démontrer que la suite
est une suite géométrique de raison
.
- En déduire que pour tout entier naturel
,
- Déterminer la limite de la suite
.
- Démontrer que la suite
- Pour tout entier naturel non nul
, on pose:
- Exprimer
en fonction de
.
- Déterminer la limite de la suite
.
- Exprimer
Correction
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-
- On calcule les premiers termes, par exemple en utilisant le
mode récurrence de la calculatrice, et on obtient:
; 
; 
; 
- On peut donc émettre la conjecture que la suite est croissante. On pourra en tout cas affirmer qu'elle n'est pas décroissante.
- On calcule les premiers termes, par exemple en utilisant le
mode récurrence de la calculatrice, et on obtient:
-
- Nous allons montrer par récurrence,
pour tout entier naturel
, la propriété
:
. Initialisation : Puisque l'on a
et
, on vérifie bien :
: la propriété
est bien vraie.
naturel donné, on suppose la propriété
vraie. On a
. Par hypothèse de récurrence :
En multipliant par un nombre positif:
, soit
Puis, en ajoutant un même nombre dans chaque membre :
Ce qui donne :
. On a donc
, c'est à dire que la propriété
est encore vraie. Conclusion: Puisque la propriété
est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire que pour tout entier naturel
, on a
vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
, on a bien
.
-
On a donc bien
. Comme on l'a montré à la question précédente, pour tout
naturel, on a
ce qui équivaut à dire que la différence
est positive, et elle le reste en étant multipliée par
, donc la différence entre deux termes consécutifs étant positive, on confirme bien que notre conjecture était correcte : la suite
est bien croissante, dès le rang 0.
- Nous allons montrer par récurrence,
pour tout entier naturel
-
- Exprimons, pour un entier
naturel quelconque,
en fonction de
:
Donc
. La relation de récurrence obtenue confirme que la suite
est bien géométrique de raison
et de premier terme
.
- On peut donc en déduire que pour totu entier
,
. Enfin, puisque l'on a, pour tout
,
, on en déduit :
, et donc on aboutit bien à l'expression demandée :
.
- Puisque la raison
est strictement comprise entre
et
, on en déduit que la limite de la suite
est 0, et donc par limite d'une somme de suites, la limite de la suite
est donc
, et la suite
est donc divergente.
- Exprimons, pour un entier
-
-
est la somme de
premiers termes de la suite
.
- On en déduit:
. Puisque
on a :
, et donc:
. De plus
, et donc finalement, par limite d'une somme,
.
-
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