Bac 2013 - Fonction avec log, dérivée, limites, TVI, algorithme, intégrale

Bac S, 20 juin 2013, 7 points
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé , la courbe représentative d'une fonction définie et dérivable sur l'intervalle .


On dispose des informations suivantes :

• les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1 , 0), (1 , 2), (0 , 2);
• la courbe passe par le point B et la droite (BC) est tangente à en B;
• il existe deux réels positifs et tels que pour tout réel strictement positif ,
  
  
  
  

1. 1. En utilisant le graphique, donner les valeurs de et .
   2. Vérifier que pour tout réel strictement positif , .
   3. En déduire les réels et .
      
2. 1. Justifier que pour tout réel appartenant à l'intervalle a le même signe que .
   2. Déterminer les limites de en 0 et en . On pourra remarquer que pour tout réel strictement positif, .
   3. En déduire le tableau de variations de la fonction .
      
3. 1. Démontrer que l'équation admet une unique solution sur l'intervalle .
   2. Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel de l'intervalle tel que . Déterminer l'entier tel que .
      
4. On donne l'algorithme ci-dessous.
   
   
   
   
   
   
    
   
   
   1. Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie.
      
      
      
      
      
      
   2. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?
   3. Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de d'amplitude
      
5. Le but de cette question est de démontrer que la courbe partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales.
   1. Justifier que cela revient à démontrer que .
   2. En remarquant que l'expression de peut s'écrire , terminer la démonstration.

Correction

1. 1. Comme , on a .
      De plus, est tangente à en , soit donc en . Comme est horizontale, son coeffient directeur est nul, ce qui est la définition même du nombre dérivé de en .
      On a donc ainsi .
   2. est de la forme , avec , soit , et , soit .
      Ainsi, , et donc, pour tout ,
      
      
      
      
      
   3. En déduire les réels et .
      , or d'après 1.a., et donc on a directement .
      , or d'après 1.a., et donc on a aussi .
      On a donc finalement , et pour tout , .
2. 1. D'après 1.b., on a pour tout , .
      Comme et , a donc le même signe que .
      
   2. Limite en :   , et ,
      d'où par produit des limites, .
      Limite en :    Pour tout réel , .
      , et, par croissance comparée en l'infini ,
      d'où, par addition des limites, .
      
   3. est du signe de , or , car la fonction est strictement croissante sur .
      
      
      
      
3. 1. La fonction est continue et strictement croissante sur , avec et .
      On en déduit donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, qu'il existe un unique tel que .
      
   2. A l'aide de la calculatrice (par balayage, avec un tableau de valeurs par exemple), on a , , , , et . Ainsi, , car est strictement décroissante sur . L'entier recherché est donc .
   
   
4. 1.  
      
      
      
      
      
      
   2. Cet algorithme affiche les valeurs et (les dernières valeurs prises par et ).
      Ces valeurs sont les bornes d'un encadrement de d'amplitude inférieure ou égale à .
      
   3. Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de d'amplitude
      
      Pour toruver un encadrement de plutôt que de , on débute par l'encadrement et (d'après la question 3.b..
      De plus, comme est décroissante sur , donc sur , on doit aussi modifier le test " en "".
      L'algorithme devient ainsi (il y d'autres possibilités menant au même résultat):
      
      
      
      
      
      
5. Le but de cette question est de démontrer que la courbe partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales.
   1. L'aire du rectangle vaut .
      Soit le point d'intersection de avec l'axe des abscisses. On cherche alors à montrer que
      
      
      
      est l'abscisse du point tel que
      
      
      
      
      Le problème considéré revient donc bien à montrer que .
   2. On a .
      Ainsi, .
      est une primitive de , tandis que est de la forme , avec , et ainsi, est une primitive de .
      
       
      On a donc,
      
      
      
      ce qui montre donc bien la propriété souhaitée.

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