Bac 2010 - Représentation paramétrique, distance minimale

Bac S, septembre 2010 4 points
L'espace est rapporté à un repère orthonormal . Soit le plan d'équation : et la droite dont une représentation paramétrique est

1. 1. Le point C(1 ; 3 ; 2) appartient-il au plan ? Justifier.
   2. Démontrer que la droite est incluse dans le plan .
2. Soit le plan passant par le point C et orthogonal à la droite .
   1. Déterminer une équation cartésienne du plan .
   2. Calculer les coordonnées du point I, point d'intersection du plan et de la droite .
   3. Montrer que CI .
3. Soit un nombre réel et le point de la droite de coordonnées .
   1. Vérifier que pour tout nombre réel .
   2. Montrer que CI est la valeur minimale de C lorsque décrit l'ensemble des nombres réels.

Correction
Bac S, septembre 2010 4 points

1. 1. C(1 ; 3 ; 2), faux. Le point C n'appartient pas au plan .
   2. Soit un point de .
      , vrai quel que soit .
      Tout point de est un point de , donc la droite est incluse dans le plan .
2. 1. Un vecteur normal au plan est un vecteur directeur de ; d'après la représentation paramétrique les coordonnées d'un vecteur directeur de sont .
      Une équation du plan est donc :
      .
      Or C(1 ; 3 ; 2).
      Conclusion : .
   2. Soit un point de .
      .
      Donc le point commun I à et à la droite a pour coordonnées .
   3. On a . Donc CI.
      Conclusion CI .
3. Soit un nombre réel et le point de la droite de coordonnées .
   1. On calcule les coordonnées de soit . On a .
   2. .
      Le minimum de ce trinôme somme de deux carrés est obtenue lorsque le premier carré est nul soit pour et la valeur minimale de trinôme est égale à . CI est bien la valeur minimale.

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