Bac 2010 - Représentation paramétrique, distance minimale
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Bac S, septembre 2010 4 points
L'espace est rapporté à un repère orthonormal
.
Soit 
le plan d'équation : 
et 
la droite dont une représentation paramétrique est
L'espace est rapporté à un repère orthonormal
.
Soit le plan d'équation : et la droite dont une représentation paramétrique est
-
- Le point C(1 ; 3 ; 2) appartient-il au plan
? Justifier.
- Démontrer que la droite
est incluse dans le plan 
.
- Le point C(1 ; 3 ; 2) appartient-il au plan
- Soit
le plan passant par le point C et orthogonal à la droite 
.
- Déterminer une équation cartésienne du plan
.
- Calculer les coordonnées du point I, point d'intersection du plan
et de la droite 
.
- Montrer que CI
.
- Déterminer une équation cartésienne du plan
- Soit
un nombre réel et 
le point de la droite 
de coordonnées 
.
- Vérifier que pour tout nombre réel
.
- Montrer que CI est la valeur minimale de C
lorsque 
décrit l'ensemble des nombres réels.
- Vérifier que pour tout nombre réel
Correction
Bac S, septembre 2010 4 points
Cacher la correction
Bac S, septembre 2010 4 points
-
-
C(1 ; 3 ; 2)
, faux. Le point C n'appartient pas au plan 
.
-
Soit
un point de 
.
, vrai quel que soit 
.
Tout point de
est un point de 
, donc la droite 
est incluse dans le plan 
.
-
C(1 ; 3 ; 2)
-
-
Un vecteur normal au plan
est un vecteur directeur de 
; d'après la représentation paramétrique les coordonnées d'un vecteur directeur de 
sont 
.
Une équation du plan
est donc :
.
Or C(1 ; 3 ; 2)
.
Conclusion :
.
-
Soit
un point de 
.
.
Donc le point commun I à
et à la droite 
a pour coordonnées 
.
-
On a
.
Donc CI
.
Conclusion CI
.
-
Un vecteur normal au plan
- Soit
un nombre réel et 
le point de la droite 
de coordonnées 
.
-
On calcule les coordonnées de
soit 
.
On a 
.
-
.
Le minimum de ce trinôme somme de deux carrés est obtenue lorsque le premier carré est nul soit pour
et la valeur minimale de trinôme est égale à 
. CI est bien la valeur minimale.
-
On calcule les coordonnées de
Cacher la correction
Tag:Géométrie dans l'espace
Autres sujets au hasard:
Voir aussi:
Quelques devoirs
maison de géométrie plane: géométrie plane analytique, vecteurs et équations de droites, exponentielle, tangente
géométrie plane analytique, vecteurs et équations de droites, géométrie avec une hyperbole et ses tangentes, courbe représentative de la fonction inverse
géométrie dans l'espace, vecteurs et équations de plan, représentation paramétrique d&une droite de l'espace, tangente à une courbe, exponentielle
géométrie dans l'espace, vecteurs et équations de plan, représentation paramétrique d&une droite de l'espace, tangente à une courbe, exponentielle - Analyse: étude d'une fonction: variations, limites, TVI, asymptotes, ...
étude de la convexité de fonctions (et variations, tangentes, limites, ...) et géométrie dans l'espace