Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques TSTMG: suites arithmétiques et géométriques},
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pdfkeywords={suites, arithmétiques, géométriques, Mathématiques, STMG, terminale STMG, TSTMG}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\ct}{\centerline}
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it=}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\newcounter{ntheo}
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\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\medskip\stepcounter{ntheo}
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\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\medskip\stepcounter{nprop}
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\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\medskip
}
\newcounter{ndef}
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\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\medskip\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\bigskip\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$\\
\medskip
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
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\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Suites numériques}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TSTG/}}
\rfoot{\TITLE\ - TSTMG - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
\psset{arrowsize=8pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf \LARGE{\TITLE}}
\paragraph{\ul{Introduction:} Intérêts simples et composés. }
\ \\
\textsl{cf. activité tableur,
\url{https://xymaths.fr/Lycee/TSTG/Cours-TSTMG/Cours-Exercices-Tableur.php}}
\\[.4em]
On dispose d'un capital de $1\,000$ euros que l'on peut placer de deux
façons différentes:
\bgit
\item {\it à intérêts simples} au taux annuel de $10\%$.
Cela signifie que, chaque année, on percevra le même intérêt $I$
égal à $10\%$ du capital de départ.
\item {\it à intérêts composés} au taux annuel de $4\%$.
Cela signifie que, chaque année, le capital acquis augmente de $4\%$
par rapport au capital de l'année précédente.
\enit
On note $s_n$ le capital acquis au bout de $n$ années avec un taux
d'intérêts simples, et $c_n$ le capital acquis au bout de $n$ années
avec un taux d'intérêts composés.
Par exemple, $s_0=c_0=1000$ est le capital initial, $s_1$ et $c_1$ sont les
capitaux à la fin de la première année, $s_2$ et $c_2$ à la fin de la
deuxième année \ \dots
\bgen[1.]
\item Calculer $s_1$, $s_2$, $s_3$ et $c_1$, $c_2$, $c_3$.
\item Calculer $s_{20}$ et $c_{20}$.
\item Déterminer, au bout de 50 ans, lequel des deux placements
est le plus avantageux.
\item Au bout de combien d'années, le capital acquis
atteindra-t-il $10\,000$ euros avec chacun de ces deux placements.
\enen
\section{Définition}
\bgdef{
Une {\bf suite numérique} est une liste de nombres réels, que l'on
peut numéroter avec les nombres entiers naturels
(0, 1, 2, 3, \dots).
}
\bigskip\noindent
\ul{Ex:} Dans l'exercice précédent du calcul du capital avec intérêts
simples, on calcule le capital $s_n$ acquis la
$n$-ième année; on numérote donc ici les années à
partir de l'année du placement initial.
On note alors $s_1$ le capital acquis au bout de 1 an,
$s_2$ au bout de 2 ans, $s_3$ \dots
\bgdef{{\bf Notations}
Une suite numérique se note généralement $(u_n)$, ou $(v_n)$
ou $(s_n)$ ou $(c_n)$ ou \dots \ l'indice
$n$ représentant un nombre entier naturel.
Le nombre $u_n$ est le terme de rang $n$ de la suite $(u_n)$
(le $n$-ième terme).
}
\medskip
\bgex
Le chiffre d'affaire d'une société augmente de 50\,000 euros chaque
année.
En 2010, le chiffre d'affaire était de 300\,000 euros.
On désigne par $u_n$ le chiffre d'affaire de la société l'année
$2010+n$.
Ainsi, on a en 2010, $u_0=300\,000$.
\bgen
\item Déterminer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
\item Exprimer le chiffre d'affaire $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item Calculer le chiffre d'affaire pour 2020.
\item Quel est le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaire de
2010 à 2011 ? et de 2011 à 2012 ?
\item Déterminer le taux d'augmentation du chiffre d'affaire
en 10 ans, entre 2010 et 2020.
Quel est le taux d'augmentation moyen annuel ?
\enen
\enex
\bgex
Une entreprise prévoit d'augmenter sa production chaque mois de
10\,\%.
Elle produit jusqu'à maintenant 2\,000 pièces par mois. \\
On désigne par $u_n$ le nombre de pièces fabriquées dans $n$ mois.
Ainsi, par exemple, $u_0=2\,000$.
Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$, puis $u_{10}$.
\enex
\section{Suites arithmétiques}
\vspace{-0.4cm}
\bgdef{
Une suite arithmétique est une suite dont chaque terme est
obtenu en ajoutant la même quantité~$r$, appelée {\bf raison} de la
suite, au terme précédent.
Pour tout entier $n$, $u_{n+1}=u_n + r$.
}
\[\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1.2)(15.5,1)
\newcounter{cpt}\setcounter{cpt}{1}
\newcounter{indic}\setcounter{indic}{1}
\multido{\i=1+2}{5}{
\psarc[linewidth=1pt]{<-}(\i,-1){1}{20}{160}
\rput(\i,.4){$+r$}
\setcounter{cpt}{\i-1}
\setcounter{indic}{\i/2}
\rput(\value{cpt},-1){$u_{\theindic}$}
}
\put(10.8,-0.6){\dots}
\put(9.8,-1){\dots}
\psarc[linewidth=1pt]{<-}(13,-1){1}{20}{160}
\rput(13,.4){$+r$}
\rput(12,-1){$u_{n}$}
\rput(14,-1){$u_{n+1}$}
\put(14.8,-0.6){\dots}
\end{pspicture}\]
\medskip\noindent
\ul{Exemple:}
\bgen[$\bullet$]
\item La suite de nombres:
0;1;2;3;\dots
est une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1
\item La suite 1;3;5;7;\dots
est une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2
\enen
\bgprop{Pour une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$,
on a $u_n=u_0+nr$.
Si le premier terme est $u_1$, on a
$u_n=u_1+(n-1)r$.}
\bgex
On considère la suite arithmétique $(u_n)$ de raison $r=5$ et de premier terme
$u_0=3$.
\'Ecrire l'expression du terme général $u_n$,
puis calculer $u_3$ et $u_{30}$.
\enex
\bgex
On considère la suite arithmétique $(u_n)$ de raison $r=3$ et de premier terme
$u_0=12$.
\'Ecrire l'expression du terme général $u_n$,
puis calculer $u_5$ et $u_{20}$.
\enex
\bgex
\bgmp[t]{12cm}
On utilise un tableur pour calculer les termes successifs
d'une suite arithmétique de raison 12 et de premier terme 124. \\
Quelle formule faut-il saisir dans la cellule $B1$ pour obtenir,
par recopie vers le bas, les termes de la suite dans la colonne $B$.
\enmp\qquad
\bgmp[t]{4cm} \ \\[-3em]
\begin{tabular}{|*2{c|}}\hline
A & B \\\hline
0 & 124 \\\hline
1 & \\\hline
2 &\\\hline
3 &\\\hline
\dots &\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\enex
\bgex
Soit la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0=-5$ et
de raison $r=2$.
Calculer $u_{2002}$.
\enex
\bgex
Soit la suite arithmétique $(u_n)$ de premiers termes
$u_0=12$ et $u_1=13,5$.
Calculer $u_{26}$
\enex
\bgex
Soit la suite arithmétique $(v_n)$ de premier terme $v_1=1200$
et de raison $r=10$.
Donner l'expression de $u_n$ puis calculer $v_{25}$.
\enex
\bgex
Soit la suite arithmétique de premier terme $u_0=12200$ et de raison
$r=-200$.
Donner l'expression de $u_n$ puis calculer $u_{30}$.
\enex
\bgex
La population d'une ville était de 40\,000 habitants en 2010.
Elle diminue depuis de 800 habitants chaque année.
On note$p_0$ la population de la ville en 2008,
et $p_n$ la population $n$ années plus tard,
c'est-à-dire en $2008+n$.
Montrer que la suite $(p_n)$ est arithmétique;
préciser sa raison et son premier terme.
Calculer le nombre d'habitants dans cette ville en 2020 puis 2030.
\enex
\bgex
On place 1000 euros à intér\^ets simples au taux annuel de 4\%.
\bgen
\item Calculer le capital acquis à la fin de la première année,
puis de la deuxième année.
\item On note $c_n$ la capital acquis à la fin de la n-ième année.
Quelle est la nature de la suite $(c_n)$ ?
Préciser ses éléments caractéristiques.
\item Calculer le capital acquis au bout de 10 ans.
\enen
\enex
\section{Suites géométriques}
\vspace{-0.4cm}
\bgdef{
Une suite géométrique est une suite dont chaque terme est
obtenu en multipliant par la même quantité $q$ , appelée
{\bf raison} de la suite, le terme précédent.
Pour tout entier $n$, $u_{n+1}=q\tm u_n$
}
\[\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-1.3)(15.5,1)
%\newcounter{cpt}\setcounter{cpt}{1}
%\newcounter{indic}\setcounter{indic}{1}
\multido{\i=1+2}{5}{
\psarc[linewidth=1pt]{<-}(\i,-1){1}{20}{160}
\rput(\i,.4){$\tm q$}
\setcounter{cpt}{\i-1}
\setcounter{indic}{\i/2}
\rput(\value{cpt},-1){$u_{\theindic}$}
}
\put(10.8,-0.6){\dots}
\put(9.8,-1){\dots}
\psarc[linewidth=1pt]{<-}(13,-1){1}{20}{160}
\rput(13,.4){$\tm q$}
\rput(12,-1){$u_{n}$}
\rput(14,-1){$u_{n+1}$}
\put(14.8,-0.6){\dots}
\end{pspicture}\]
\medskip\noindent
\ul{Exemple:}
\bgen[$\bullet$]
\item La suite de nombres:
1;2;4;8;16;\dots
est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2
\item La suite 1;3;9;27;81;\dots
est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 3
\enen
\bgprop{Pour une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$,
on a $u_n=u_0q^n$.
Si le premier terme est $u_1$, on a
$u_n=u_1q^{n-1}$.}
\bgex
Soit la suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0=2$ et de
raison $q=1,2$.
\bgen
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Donner l'expression de $u_n$.
\item Calculer $u_{30}$.
\enen
\enex
\bgex
On utilise une feuille de papier, d'épaisseur $e=0,5$ mm,
que l'on replie successivement en deux.
\bgen
\item Quelle est l'épaisseur de la feuille après le premier pliage ?
après le deuxième ?
\item On note $e_n$ l'épaisseur après $n$ pliages.
Montrer que $(e_n)$ est une suite géométrique.
Préciser son premier terme et sa raison.
\item En calculant les valeurs successives de $u_n$,
déterminer au bout de combien de pliages, l'épaisseur
dépasse la hauteur de la tour Eiffel (environ 300 m) ?
\enen
\enex
\bgex {\bf QCM}
\bgen
\item $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de
raison $r$.
\bgen[a.]
\item $u_0=-2$ et $r=3$, alors $u_4$ est égal à \quad
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{3cm}}}
$\Box$ &7 & $\Box$ & 12 & $\Box$ & 10
\end{tabular}
\item $u_1=-5$ et $u_2=2$, alors $r$ est égal à \quad
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{3cm}}}
$\Box$ &7 & $\Box$ & $-3$ & $\Box$ & $-7$
\end{tabular}
\item $u_3=2$ et $u_4=5$, alors $u_5$ est égal à \quad
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{3cm}}}
$\Box$ &7 & $\Box$ & $8$ & $\Box$ & $9$
\end{tabular}
\enen
\item $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de
raison $q$.
\bgen[a.]
\item $u_0=3$ et $q=4$, alors $u_3$ est égal à \quad
\begin{tabular}{*3{p{.2cm}p{3cm}}}
$\Box$ &12 & $\Box$ & 48 & $\Box$ & 192
\end{tabular}
\item $u_1=5$ et $u_2=2$, alors $q$ est égal à \quad
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{3cm}}}
$\Box$ &10 & $\Box$ & $0,4$ & $\Box$ & $2,5$
\end{tabular}
\item $u_3=2$ et $u_4=6$, alors $u_5$ est égal à \quad
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{3cm}}}
$\Box$ &12 & $\Box$ & $18$ & $\Box$ & $36$
\end{tabular}
\enen
\item Dans un placement à intérêts composés au taux annuel de 2\,\%,
les capitaux disponibles au bout d'un an, de 2 ans, de 3 ans, \dots,
de $n$ ans, sont les termes d'une suite géométrique de raison:
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
$\Box$ &2 & $\Box$ & $0,02$ & $\Box$ & $1,02$
\end{tabular}
\item On place un capital de 10\,000 euros à 4\,\% par an avec
intérêts composés.
Au bout de deux ans, le capital est acquis est de:
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
$\Box$ &10\,800 euros & $\Box$ & 10\,816 euros
& $\Box$ & 10\,400 euros
\end{tabular}
\item La production d'une entreprise augmente de 5\,\% chaque
année.
Au bout de 5 ans, elle aura augmenté d'environ
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4cm}}}
$\Box$ &25\,\% & $\Box$ & 27\% & $\Box$ & 28\,\%
\end{tabular}
\item Un équipement informatique perd 20\,\% de sa valeur chaque
année.
Au bout de 5 ans, il aura perdu
\begin{tabular}{*3{p{0.2cm}p{4.5cm}}}
$\Box$ &100\,\% de sa valeur
& $\Box$ & environ 33\% de sa valeur
& $\Box$ & environ 67\,\% de sa valeur
\end{tabular}
\enen
\enex
\bigskip
\bgex
Un véhicule, acheté en 2012 au prix de 23\,250 euros, se déprécie
chaque année.
Compte tenu du nombre de kilomètres parcourus chaque année, le
véhicule perd chaque année 20\,\% de sa valeur.
Cette perte annuelle est calculée sur la valeur résiduelle de l'anné
précédente.
Pour tout entier $n$, on note $u_n$ la valeur résiduelle du véhciule
l'année $2012+n$.
\bgen
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique ,
dont on précisera le premier terme et la raison.
\item Calculer la valeur résiduelle du véhicule en 2013, 2014 et
2022.
\enen
\enex
\bgex {\bf Remboursement d'un emprunt par annuité constante}
On rembourse un emprunt d'un montant $D$ au moyen d'annuités égales.
Soit $i$ le taux de l'emprunt et $n$ le nombre d'années de
remboursement, alors l'annuité constante $a$ est donnée par la
formule: \
\ $a=D\dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}$.
\bgen
\item Déterminer le montant de l'annuité constante pour un emprunt
$D=350\,000$ euros effectué sur 15 ans au taux de 4\,\%.
\item Quel est le prix total payé au bout de 15 ans.
\enen
\enex
\bgex
Le nombre d'élèves d'un lycée était de 1\,000 à la rentrée 2009 et de
1\,070 à la rentrée 2010.
\bgen
\item Déterminer le taux d'évolution, sous forme de pourcentage, du
nombre d'élèves entre la rentrée 2009 et la rentrée 2010.
\item On suppose que ce pourcentage d'augmentation reste constant.
On note $E_n$ le nombre d'élève à la rentrée $2009+n$.
\bgen[a)]
\item La suite $(E_n)$ est-elle arithmétique ou géométrique ?
Préciser son premier terme et sa raison.
\item Déterminer le nombre d'élèves en 2014.
\enen
\enen
\enex
\bgex Un artisan désire acquérir en 2014 une machine qui vaut 19\,000 euros.
Au 1$^\text{er}$ janvier 2010, il a placé pour cela la somme de
16\,000 euros, à intérêts composés, au taux annuel de 3,75\,\%.
On note $u_n$ le capital, exprimé en euros, disponible au
1$^\text{er}$ janvier de l'année $2010+n$.
\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ (arrondir à l'unité).
\item Disposera-t-il d'une somme suffisante en 2014 ?
\item Déterminer la somme qu'il devrait placer en 2010 pour disposer
du capital nécessaire en 2014.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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