Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques

Terminale S

Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S: calcul de limites, Suites (annale Bac centres étarngers 2010), et étude de fonctions (sens de variation, limites, asymptotes)
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Type: Devoir
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S: calcul de limites, Suites (annale Bac centres étarngers 2010), et étude de fonctions (sens de variation, limites, asymptotes)
Niveau
Terminale S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, maths, TS, terminale S, limites, asymptote, suites, étude de fonctions

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    \documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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\usepackage{epsf}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt       % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}   % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
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{%
\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}

\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}


\bgex
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par 
$f(x)=6-\dfrac{5}{x+1}$. 


Le but de cet exercice est d'\'etudier des suites $(u_n)$ d\'efinies par
un premier terme positif ou nul $u_0$ et v\'erifiant pour tout entier
naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$. 

\bgen
\item {\bf Etude de propri\'et\'es de la fonction $f$} 

  \bgen[a.] 
  \item Etudier le sens de variation de la fonction $f$ 
    sur $[0;+\infty[$. 
  \item R\'esoudre dans l'intervalle $[0;+\infty[$ l'\'equation 
    $f(x)=x$. 
      On note $\alpha$ la solution. 
  \item Montrer que si $x$ appartient \`a l'intervalle $[0;\alpha]$, 
    alors $f(x)$ appartient \`a l'intervalle $[0;\alpha]$. 
  \enen

\item {\bf Etude de la suite $(u_n)$ pour $u_0=0$}

  On consid\`ere la suite $(u_n)$ d\'efinie par
  $u_0=0$ et pour tout entier $n$, 
  $u_{n+1}=f(u_n)=6-\dfrac{5}{u_n+1}$. 

  \bgen[a.] 
  \item Repr\'esenter graphiquement la courbe repr\'esentative de la
    fonction $f$, et placer le points $A_0$ de coordonn\'ees $(u_0;0)$
    et construire les points $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$ d'ordonn\'ee
    nulle et d'abscisses respectives $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$. 

    Quelles conjectures peut-on \'emettre quant au sens de variation et
    \`a la convergence de la suite~$(u_n)$ ? 
    
  \item D\'emontrer par r\'ecurrence que, pour tout entier naturel $n$: 
    $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \alpha$.

    %Quel est alors le sens de variation de la suite $(u_n)$ ?
  \item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente, 
    et donner sa limite. 
  \enen
\enen

\enex


\bgex
\bgen
\item On appelle $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par l'expression 
    $f(x)=x^3-3x-4$. 
  \bgen[a.] 
  \item Etudier les variations de $f$, et dresser son tableau de
    variation. 

  \item Montrer que l'\'equation $f(x)=0$ a une unique solution $a$ sur
    $[2;3]$. 

    Donner un encadrement de $a$ d'amplitude $10^{-2}$. 

  \item D\'eterminer le signe de $f(x)$ sur $\R$. 
  \enen

\item On appelle $g$ la fonction d\'efinie sur $\R\setminus\la0\ra$ par 
  $g(x)=\dfrac{x^3+3x+2}{x^2}$. 
  \bgen[a.]
  \item Calculer la d\'eriv\'ee $g'$ de $g$ et montrer que 
    $g'(x)=\dfrac{f(x)}{x^3}$ pour tout $x$ de $\R\setminus\la0\ra$. 

  \item En d\'eduire les variations de $g$. 

  %\item Montrer que $g(a)=\dfrac{6a-2}{a^2}$; 
  %  en d\'eduire un encadrement de $g(a)$.   
  \enen
\enen

\enex


\bgex
%{\sl D'apr\`es sujet de bac} 

\noindent
{\bf Partie A}\ \ 
Soit $\varphi$ la fonction num\'erique de la variable r\'eelle $x$ telle
que: 
$\varphi(x)=\dfrac{3x^2+ax+b}{x^2+1}$. 

D\'eterminer les r\'eels $a$ et $b$ pour que la courbe repr\'esentative de
$\varphi$ soit tangente au point $I$ de coordonn\'ees $(0;3)$ \`a la droite 
$(T)$ d'\'equation $y=4x+3$. 

\vspd\noindent
{\bf Partie B} \ \ 
Soit $f$ la fonction num\'erique de la variable r\'eelle $x$ telle que:
$f(x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}$.

\bgen
\item Montrer que pour tout $x$ r\'eel, 
  $f(x)=\alpha+\dfrac{\beta x}{x^2+1}$, 
  $\alpha$ et $\beta$ \'etant deux r\'eels que l'on d\'eterminera. 

\item Etudier la fonction $f$. Préciser les limites de $f$ en
  $-\infty$ et $+\infty$. 
\item Etudier la position de la courbe $(C)$ repr\'esentative de $f$ par
  rapport \`a la tangente $(T)$ au point $I$ de coordonn\'ees $(0;3)$. 

\item Construire la courbe $(C)$; 
  on prendre pour unit\'e 2 cm. 

\item Soit $g$ la fonction num\'erique de la variable r\'eelle $x$ telle
  que: 
  $g(x)=f\lp |x|\rp$ 
  et $(C')$ sa courbe repr\'esentative. 

  Sans \'etudier la fonction $g$, construire $(C')$ sur le graphique
  pr\'ec\'edent. 
\enen


\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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