Source Latex
sujet du devoir
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
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\protect\vspace*{\fill}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
{\pagestyle{empty}}%
{%
\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par
$f(x)=6-\dfrac{5}{x+1}$.
Le but de cet exercice est d'\'etudier des suites $(u_n)$ d\'efinies par
un premier terme positif ou nul $u_0$ et v\'erifiant pour tout entier
naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
\bgen
\item {\bf Etude de propri\'et\'es de la fonction $f$}
\bgen[a.]
\item Etudier le sens de variation de la fonction $f$
sur $[0;+\infty[$.
\item R\'esoudre dans l'intervalle $[0;+\infty[$ l'\'equation
$f(x)=x$.
On note $\alpha$ la solution.
\item Montrer que si $x$ appartient \`a l'intervalle $[0;\alpha]$,
alors $f(x)$ appartient \`a l'intervalle $[0;\alpha]$.
\enen
\item {\bf Etude de la suite $(u_n)$ pour $u_0=0$}
On consid\`ere la suite $(u_n)$ d\'efinie par
$u_0=0$ et pour tout entier $n$,
$u_{n+1}=f(u_n)=6-\dfrac{5}{u_n+1}$.
\bgen[a.]
\item Repr\'esenter graphiquement la courbe repr\'esentative de la
fonction $f$, et placer le points $A_0$ de coordonn\'ees $(u_0;0)$
et construire les points $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$ d'ordonn\'ee
nulle et d'abscisses respectives $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
Quelles conjectures peut-on \'emettre quant au sens de variation et
\`a la convergence de la suite~$(u_n)$ ?
\item D\'emontrer par r\'ecurrence que, pour tout entier naturel $n$:
$0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \alpha$.
%Quel est alors le sens de variation de la suite $(u_n)$ ?
\item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente,
et donner sa limite.
\enen
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item On appelle $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par l'expression
$f(x)=x^3-3x-4$.
\bgen[a.]
\item Etudier les variations de $f$, et dresser son tableau de
variation.
\item Montrer que l'\'equation $f(x)=0$ a une unique solution $a$ sur
$[2;3]$.
Donner un encadrement de $a$ d'amplitude $10^{-2}$.
\item D\'eterminer le signe de $f(x)$ sur $\R$.
\enen
\item On appelle $g$ la fonction d\'efinie sur $\R\setminus\la0\ra$ par
$g(x)=\dfrac{x^3+3x+2}{x^2}$.
\bgen[a.]
\item Calculer la d\'eriv\'ee $g'$ de $g$ et montrer que
$g'(x)=\dfrac{f(x)}{x^3}$ pour tout $x$ de $\R\setminus\la0\ra$.
\item En d\'eduire les variations de $g$.
%\item Montrer que $g(a)=\dfrac{6a-2}{a^2}$;
% en d\'eduire un encadrement de $g(a)$.
\enen
\enen
\enex
\bgex
%{\sl D'apr\`es sujet de bac}
\noindent
{\bf Partie A}\ \
Soit $\varphi$ la fonction num\'erique de la variable r\'eelle $x$ telle
que:
$\varphi(x)=\dfrac{3x^2+ax+b}{x^2+1}$.
D\'eterminer les r\'eels $a$ et $b$ pour que la courbe repr\'esentative de
$\varphi$ soit tangente au point $I$ de coordonn\'ees $(0;3)$ \`a la droite
$(T)$ d'\'equation $y=4x+3$.
\vspd\noindent
{\bf Partie B} \ \
Soit $f$ la fonction num\'erique de la variable r\'eelle $x$ telle que:
$f(x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}$.
\bgen
\item Montrer que pour tout $x$ r\'eel,
$f(x)=\alpha+\dfrac{\beta x}{x^2+1}$,
$\alpha$ et $\beta$ \'etant deux r\'eels que l'on d\'eterminera.
\item Etudier la fonction $f$. Préciser les limites de $f$ en
$-\infty$ et $+\infty$.
\item Etudier la position de la courbe $(C)$ repr\'esentative de $f$ par
rapport \`a la tangente $(T)$ au point $I$ de coordonn\'ees $(0;3)$.
\item Construire la courbe $(C)$;
on prendre pour unit\'e 2 cm.
\item Soit $g$ la fonction num\'erique de la variable r\'eelle $x$ telle
que:
$g(x)=f\lp |x|\rp$
et $(C')$ sa courbe repr\'esentative.
Sans \'etudier la fonction $g$, construire $(C')$ sur le graphique
pr\'ec\'edent.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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