Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques: nombres complexes},
pdftitle={Correction du devoir de mathématiques: Nombres complexes},
pdfkeywords={complexes, nombres complexes, Mathématiques, maths}
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{#3}={#4}$
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Corrigé du devoir: nombres complexes}
\author{Y. Morel}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
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\vspace*{-0.5cm}
\ct{\LARGE \bf \TITLE}
\bgex
\bgen
\item $z_1=2-4i$ et $z_2=-2+i$.
$z_2-z_1=\lp -2+i\rp-\lp2-4i\rp=-4+5i$,
$z_1\,z_2=(2-4i)(-2+i)=10i$
$z_1\,\overline{z_2}=\lp 2-4i\rp\lp-2-i\rp=-8+6i$,
$|z_2|=|-2+i|=\sqrt{5}$
$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2}
=\dfrac{-8+6i}{5}=-\dfrac85+\dfrac65i$
\item Pour $z\not=4$, on a
$\dfrac{2z-2}{z-4}=i\iff 2z-2=(z-4)i\iff (2-i)z=2-4i\iff
z=\dfrac{2-4i}{2-i}$.
Ainsi, $z=\dfrac{z_1}{-z_2}=-\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac85+\dfrac65i$.
\enen
\enex
\bgex
Pour tout complexe $z$,
$(z-i)(\overline{z}+i)=z\overline{z}+i\lp z-\overline{z}\rp-i^2$,
or, $z\overline{z}=|z|^2$ est un réel,
$z-\overline{z}=2i\Im(z)$,
donc $i\lp z-\overline{z}\rp=-2\Im(z)$ est réel,
et $-i^2=1$ est aussi réel. \\
Ainsi ce nombre est bien réel, pour tout $z$ complexe.
\enex
\bgex
On a $|z|=\sqrt{1+3}=2$ et $\arg(z)=\theta$ avec
$\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,
ainsi, $\arg(z)=\dfrac{\pi}{3}$.
On a alors, sous forme trigonométrique
$z=2\lp \cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\rp$ et sous
forme exponentielle $z=2e^{i\frac{\pi}{3}}$.
On a alors,
$z^6=\lp 2e^{i\frac{\pi}{3}}\rp^6=2^6\,e^{6i\frac{\pi}{3}}=64e^{2i\pi}=64$,
car $e^{2i\pi}=e^0=1$.
\enex
\bgex
$j=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{i\sqrt{3}}{2}$.
\bgen
\item $|j|=\sqrt{\lp-\dfrac12\rp^2+\lp\dfrac{\sqrt3}{2}\rp^2}=\sqrt{\dfrac14+\dfrac{3}{4}}=\sqrt1=1$.
\item $j=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{i\sqrt{3}}{2}
=\dfrac12\lp -1+i\sqrt{3}\rp$,
et donc,
$j^2=\dfrac14\lp -2-2i\sqrt{3}\rp=-\dfrac12 -\dfrac{i\sqrt{3}}{2}=\overline{j}$
\item $j^3=j^2\tm j=\overline{j}\tm j=|j|^2=1$
\vspd
Ainsi, pour tout entier $n$, $j^{3n}=\lp j^3\rp^n=1^n=1$.
\item $1+j+j^2=1+j+\overline{j}
=1+\lp-\dfrac{1}{2}+\dfrac{i\sqrt{3}}{2}\rp
+\lp-\dfrac{1}{2}-\dfrac{i\sqrt{3}}{2}\rp=0$.
\item $S$ est la somme des termes d'une suite g\'eom\'etrique de raison $j$:
$S=1+j+j^2+\dots+j^{2005}+j^{2006}=j^0+j^1+j^2+\dots+j^{2005}+j^{2006}=\dfrac{1-j^{2007}}{1-j}$.
Or, $j^{2007}=j^{3\tm 669}=\lp j^3\rp^{669}=1^{669}=1$.
Ainsi, $S=0$.
\enen
\enex
\end{document}
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