Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques terminale S: suites et limites},
pdftitle={Devoir de mathématiques: suites},
pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale S, suites, limites, récurrence}
}
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}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
$\bullet \ u_n=\dfrac{6n^3+1}{4n(n^2+2n+1)}
=\dfrac{6n^3\lp1+\dfrac1{6n^3}\rp}{4n^3\lp1+\dfrac2n+\dfrac1n^2\rp}
=\dfrac32\tm\dfrac{1+\dfrac1{6n^3}}{1+\dfrac2n+\dfrac1n^2}$
Comme $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1+\dfrac1{6n^3}}{1+\dfrac2n+\dfrac1n^2}=1$,
on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=\dfrac32$.
\medskip
Comme $\bullet \ \dfrac94>1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac94\rp^n=+\infty$,
et donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$.
\medskip
$\bullet \ w_n=\dfrac{5+\lp\dfrac12\rp^n}{3+\dfrac1{\sqrt{n}}}$.
On a $-1<\dfrac12<1$, donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac12\rp^n=0$,
et $\dsp\lim_{n\to+\infty}1+\dfrac1{\sqrt{n}}=1$,
d'où
$\dsp\lim_{n\to+\infty}w_n=\dfrac53$
%\medskip
%$\bullet \ z_n=\dfrac{2n+\lp\dfrac12\rp^n}{n+\sqrt{n}+1}
%=\dfrac{2n\lp1+\dfrac1n\lp\dfrac12\rp^n\rp}{n\lp1+\dfrac{\sqrt{n}}{n}+\dfrac1n\rp}
%=2\tm\dfrac{1+\dfrac1n\lp\dfrac12\rp^n}{1+\dfrac1{\sqrt{n}}+\dfrac1n}$
%
%avec, comme $-1<\dfrac12<1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac12\rp^n=0$
%et donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac1n\lp\dfrac12\rp^n=0$.
%
%Comme on a aussi $1+\dfrac1{\sqrt{n}}+\dfrac1n=1$,
%on obtient finalement $\dsp\lim_{n\to+\infty}z_n=2$.
\enex
\bgex
Par r\'ecurrence sur $n\in\N$:
Pour $n=0$,
$\dsp\sum_{p=0}^0 2p+1=1$
et $(0+1)^2=1$, ce qui montre que la formule est vraie initialement au rang $n=0$.
\bigskip
Supposons maintenant que la formule est vraie \`a un rang quelconque $n\in\N$,
c'est-\`a-dire
que $\dsp\sum_{p=0}^n 2p+1=(n+1)^2$.
\medskip
On a alors, au rang $n+1$ suivant:
\[\bgar{ll}\dsp\sum_{p=0}^{n+1} 2p+1
&=\dsp\sum_{p=0}^n 2p+1+(2(n+1)+1)\\[.6em]
&=(n+1)^2+(2n+3) \\[.6em]
&=n^2+4n+4 \\[.5em]
&=(n+2)^2 \\[.5em]
=\bigl((n+1)+1\bigr)^2
\enar\]
et la formule est donc encore vraie au rang $n+1$.
\medskip
On a donc montr\'e, gr\^ace au principe de r\'ecurrence, que pour tout entier $n$,
$\dsp\sum_{p=0}^n 2p+1=(n+1)^2$.
\enex
\bgex
On consid\`ere la suite $(u_n)$ d\'efinie par:\quad
$u_0\in\R$ et $u_{n+1}=k u_n\lp 1- u_n\rp$.
\bgen
\item Dans cette question, on donne $u_0=0,4$ et $k=1$,
soit $u_{n+1}=u_n\lp1-u_n\rp$.
\bgen[a]
\item $u_{n+1}-u_n=u_n\lp1-u_n\rp-u_n=-u_n^2$.
Ainsi, pour tout entier $n$, $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$,
soit $u_{n+1}\leqslant u_n$, et
la suite $(u_n)$ est donc d\'ecroissante.
\item D\'emontrons par r\'ecurrence la propri\'et\'e:
$0\leqslant u_n\leqslant 1$.
\noindent
\ul{Initialisation:} Pour $n=0$, $u_0=0,4$, et on a donc bien
$0\leqslant u_0\leqslant 1$.
\noindent
\ul{H\'er\'edit\'e:} Supposons que pour un entier $n$,
on ait $0\leqslant u_n\leqslant 1$.
Alors,
$-1\leqslant -u_n\leqslant 0\iff
0\leqslant 1-u_n\leqslant 1$.
Ainsi, comme $0\leqslant u_n\leqslant 1$, on a donc en multipliant
ces deux derni\`eres in\'egalit\'es
$0\leqslant u_n\lp1-u_n\rp\leqslant 1$,
soit $0\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$.
La propri\'et\'e est donc encore vraie au rang $(n+1)$.
\noindent
\ul{Conclusion:} D'apr\`es le principe de r\'ecurrence,
on a donc, pour tout entier $n$,
$0\leqslant u_n\leqslant 1$.
\item La suite $(u_n)$ est donc d\'ecroissante et minor\'ee par $0$.
On en d\'eduit donc qu'elle converge vers une limite~$l$.
\item La limite $l$ v\'erifie n\'ecessairement (point fixe)
$l=l(1-l)\iff l=0$.
Ainsi, la suite $(u_n)$ converge vers $0$.
\enen
\item Dans cette question, on donne $u_0=0,3$ et $k=1,8$,
soit $u_{n+1}=1,8 u_n(1-u_n)$.
\bgen[a.]
\item \bgmp[t]{8cm}
Pour tout $x\in[0;1]$, $f'(x)=1,8(-2x+1)$.
\vspt
De plus, $f\lp\dfrac12\rp=0,45\in\lb0;\dfrac12\rb$.
\enmp
\bgmp[c]{8cm}
\[
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $0$ && $\dfrac12$ && 1 \\\hline
$-2x+1$ && $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
$f'(x)$ && $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
&&&$0,45$&& \\
$f$&& \Large{$\nearrow$}& &\Large{$\searrow$} &\\
&0&&&&0 \\\hline
\end{tabular}
\]
\enmp
\item
\ul{Initialisation:} Pour $n=0$,
$u_0=0,3$ et $u_1=1,8\tm0,3\lp 1-0,3\rp=0,378$.
On a bien ainsi $0\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant \dfrac12$.
\noindent
\ul{H\'er\'edit\'e:} Supposons que pour un entier $n$, on ait
$0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac12$.
Comme la fonction $f$ est croissante sur
$\lb 0;\dfrac12\rb$, on a donc
$f(0)
\leqslant f\lp u_n\rp
\leqslant f\lp u_{n+1}\rp
\leqslant f\lp\dfrac12\rp$.
Or, $f(0)=0$, $f\lp u_n\rp=u_{n+1}$,
$f\lp u_{n+1}\rp=u_{n+2}$ et $f\lp\dfrac12\rp=0,45\leqslant \dfrac12$.
Ainsi, $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant
0,45\leqslant \dfrac12$,
et la propri\'et\'e est encore vraie au rang $(n+1)$.
\noindent
\ul{Conclusion:} D'apr\`es le principe de r\'ecurrence,
pour tout entier $n$,
$0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac12$.
\item La suite $(u_n)$ est donc croissante est major\'ee par $\dfrac12$.
On en d\'eduit qu'elle converge vers une limite $l$.
\item La limite $l$ v\'erifie n\'ecessairement
$l=1,8l(1-l)$
$\iff$
$1,8l^2-0,8l=0$
$\iff$
$l\lp 1,8l-0,8\rp=0$
$\iff l=0 \text{ ou } l=\dfrac{0,8}{1,8}=\dfrac49
$.
Or $(u_n)$ est croissante avec $u_0=0,3>0$, et donc, pour tout
entier $n$, $u_n\geqslant 0,3$.
La limite de la suite ne peut donc \^etre que $l=\dfrac49$.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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