Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Limites de suites

Terminale S

Limites de suites

Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S: calcul de limites, Suites, récurrence
Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S: calcul de limites, Suites, récurrence
Niveau
Terminale S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, maths, TS, terminale S, limites, suites, suite récurrente, récurrence, démonstration par récurrence, principe de récurrence, étude de fonctions

Sujet du devoir

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques terminale S: suites et limites},
    pdftitle={Devoir de mathématiques: suites},
    pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale S, suites, limites, récurrence}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
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\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
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\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
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\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
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	\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}


\bgex
$\bullet \ u_n=\dfrac{6n^3+1}{4n(n^2+2n+1)}
=\dfrac{6n^3\lp1+\dfrac1{6n^3}\rp}{4n^3\lp1+\dfrac2n+\dfrac1n^2\rp}
=\dfrac32\tm\dfrac{1+\dfrac1{6n^3}}{1+\dfrac2n+\dfrac1n^2}$

Comme $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1+\dfrac1{6n^3}}{1+\dfrac2n+\dfrac1n^2}=1$, 
on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=\dfrac32$. 

\medskip
Comme $\bullet \ \dfrac94>1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac94\rp^n=+\infty$, 
et donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$. 

\medskip
$\bullet \ w_n=\dfrac{5+\lp\dfrac12\rp^n}{3+\dfrac1{\sqrt{n}}}$. 
On a $-1<\dfrac12<1$, donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac12\rp^n=0$, 
et $\dsp\lim_{n\to+\infty}1+\dfrac1{\sqrt{n}}=1$, 
d'où 
$\dsp\lim_{n\to+\infty}w_n=\dfrac53$


%\medskip
%$\bullet \ z_n=\dfrac{2n+\lp\dfrac12\rp^n}{n+\sqrt{n}+1}
%=\dfrac{2n\lp1+\dfrac1n\lp\dfrac12\rp^n\rp}{n\lp1+\dfrac{\sqrt{n}}{n}+\dfrac1n\rp}
%=2\tm\dfrac{1+\dfrac1n\lp\dfrac12\rp^n}{1+\dfrac1{\sqrt{n}}+\dfrac1n}$
%
%avec, comme $-1<\dfrac12<1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac12\rp^n=0$ 
%et donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac1n\lp\dfrac12\rp^n=0$. 
%
%Comme on a aussi $1+\dfrac1{\sqrt{n}}+\dfrac1n=1$, 
%on obtient finalement $\dsp\lim_{n\to+\infty}z_n=2$. 

\enex


\bgex
Par r\'ecurrence sur $n\in\N$: 

Pour $n=0$, 
$\dsp\sum_{p=0}^0 2p+1=1$ 
et $(0+1)^2=1$, ce qui montre que la formule est vraie initialement au rang $n=0$. 

\bigskip
Supposons maintenant que la formule est vraie \`a un rang quelconque $n\in\N$, 
c'est-\`a-dire 
que $\dsp\sum_{p=0}^n 2p+1=(n+1)^2$. 

\medskip
On a alors, au rang $n+1$ suivant: 
\[\bgar{ll}\dsp\sum_{p=0}^{n+1} 2p+1
&=\dsp\sum_{p=0}^n 2p+1+(2(n+1)+1)\\[.6em]
&=(n+1)^2+(2n+3) \\[.6em]
&=n^2+4n+4 \\[.5em]
&=(n+2)^2 \\[.5em]
=\bigl((n+1)+1\bigr)^2
\enar\]
et la formule est donc encore vraie au rang $n+1$. 

\medskip
On a donc montr\'e, gr\^ace au principe de r\'ecurrence, que pour tout entier $n$, 
$\dsp\sum_{p=0}^n 2p+1=(n+1)^2$. 

\enex


\bgex
On consid\`ere la suite $(u_n)$ d\'efinie par:\quad
$u_0\in\R$ et $u_{n+1}=k u_n\lp 1- u_n\rp$. 

\bgen
\item Dans cette question, on donne $u_0=0,4$ et $k=1$, 
  soit $u_{n+1}=u_n\lp1-u_n\rp$.
  \bgen[a] 
  \item $u_{n+1}-u_n=u_n\lp1-u_n\rp-u_n=-u_n^2$. 

    Ainsi, pour tout entier $n$, $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$, 
    soit $u_{n+1}\leqslant u_n$, et 
    la suite $(u_n)$ est donc d\'ecroissante. 

  \item D\'emontrons par r\'ecurrence la propri\'et\'e: 
    $0\leqslant u_n\leqslant 1$. 

    \noindent
    \ul{Initialisation:} Pour $n=0$, $u_0=0,4$, et on a donc bien 
    $0\leqslant u_0\leqslant 1$. 

    \noindent
    \ul{H\'er\'edit\'e:} Supposons que pour un entier $n$, 
    on ait $0\leqslant u_n\leqslant 1$. 

    Alors, 
    $-1\leqslant -u_n\leqslant 0\iff 
    0\leqslant 1-u_n\leqslant 1$. 
    Ainsi, comme $0\leqslant u_n\leqslant 1$, on a donc en multipliant
    ces deux derni\`eres in\'egalit\'es 
    $0\leqslant u_n\lp1-u_n\rp\leqslant 1$, 
    soit $0\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$. 

    La propri\'et\'e est donc encore vraie au rang $(n+1)$. 

    \noindent
    \ul{Conclusion:} D'apr\`es le principe de r\'ecurrence, 
    on a donc, pour tout entier $n$, 
    $0\leqslant u_n\leqslant 1$. 

  \item La suite $(u_n)$ est donc d\'ecroissante et minor\'ee par $0$. 
    On en d\'eduit donc qu'elle converge vers une limite~$l$. 

  \item La limite $l$ v\'erifie n\'ecessairement (point fixe) 
    $l=l(1-l)\iff l=0$. 

    Ainsi, la suite $(u_n)$ converge vers $0$. 
  \enen

\item Dans cette question, on donne $u_0=0,3$ et $k=1,8$, 
  soit $u_{n+1}=1,8 u_n(1-u_n)$.
  \bgen[a.]
  \item \bgmp[t]{8cm}
    Pour tout $x\in[0;1]$, $f'(x)=1,8(-2x+1)$. 
    
    \vspt
    De plus, $f\lp\dfrac12\rp=0,45\in\lb0;\dfrac12\rb$. 
    \enmp
    \bgmp[c]{8cm}
    \[
    \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
      $x$ & $0$ && $\dfrac12$ && 1 \\\hline
      $-2x+1$ && $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
      $f'(x)$ && $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
      &&&$0,45$&& \\
      $f$&& \Large{$\nearrow$}& &\Large{$\searrow$} &\\
      &0&&&&0 \\\hline
    \end{tabular}
    \]
    \enmp

    \item 

      \ul{Initialisation:} Pour $n=0$, 
      $u_0=0,3$ et $u_1=1,8\tm0,3\lp 1-0,3\rp=0,378$. 
      
      On a bien ainsi $0\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant \dfrac12$. 
      
      \noindent
      \ul{H\'er\'edit\'e:} Supposons que pour un entier $n$, on ait 
      $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac12$. 

      Comme la fonction $f$ est croissante sur 
      $\lb 0;\dfrac12\rb$, on a donc 
      $f(0)
      \leqslant f\lp u_n\rp
      \leqslant f\lp u_{n+1}\rp
      \leqslant f\lp\dfrac12\rp$. 

      Or, $f(0)=0$, $f\lp u_n\rp=u_{n+1}$, 
      $f\lp u_{n+1}\rp=u_{n+2}$ et $f\lp\dfrac12\rp=0,45\leqslant \dfrac12$.

      Ainsi,  $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant
      0,45\leqslant \dfrac12$, 
      et la propri\'et\'e est encore vraie au rang $(n+1)$. 

      \noindent
      \ul{Conclusion:} D'apr\`es le principe de r\'ecurrence, 
      pour tout entier $n$, 
      $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac12$. 

    \item La suite $(u_n)$ est donc croissante est major\'ee par $\dfrac12$. 
      On en d\'eduit qu'elle converge vers une limite $l$. 
    \item La limite $l$ v\'erifie n\'ecessairement 
      $l=1,8l(1-l)$
      $\iff$
      $1,8l^2-0,8l=0$
      $\iff$
      $l\lp 1,8l-0,8\rp=0$
      $\iff l=0 \text{ ou } l=\dfrac{0,8}{1,8}=\dfrac49
      $. 

      Or $(u_n)$ est croissante avec $u_0=0,3>0$, et donc, pour tout
      entier $n$, $u_n\geqslant 0,3$. 

      La limite de la suite ne peut donc \^etre que $l=\dfrac49$.
  \enen
\enen

\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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