Source Latex
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours math�matiques: algorithmique},
pdftitle={Algorithmique},
pdfkeywords={Math�matiques, algorithmique, programmation,
lyc�e, 2nde, seconde, 1S,
premi�re, S, 1�reS, 1�re S, terminale, terminale S,
Bac, baccalaur�at, python}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=26.3cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18.5cm
\oddsidemargin=-1.3cm
\parindent=0.2cm
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\newcounter{ntheo}
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\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\newlength{\lprop}
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\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\newcounter{ndef}
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\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
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\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Concernant la mise en page des algo:
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\nwc{\Prog}[3]{%
%\par\vspd%
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\emph{\textcolor{white}{\!\!#1}}} \\
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\pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=grayp]%
(-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)(\plgng,0)%
(\plgng,\phgtqg)(\plgtqg,-\phgng)(-0.5ex,-\phgng)
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\par
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\vspd
}
% et pour les progs casio:
\nwc{\return}{
\psset{unit=1cm,arrowsize=4pt}
\psline{<-}(0,0.1)(0.3,0.1)(0.3,0.25)}
\nwc{\disp}{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0)(0.2,0)(0.2,0.15)}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Algorithmique - Annales de Bac}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\ - $T^{\text{\scriptsize{ale}}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - $T^{\text{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.7cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\vspace{-0.4cm}
\bgex\hrulefill{\sl Bac ES-L Pondich�ry 2014 - 5 points}
\noindent Une association d�cide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux
sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis
rel�cher ces oiseaux une fois gu�ris.
Le centre ouvre ses portes le 1\up{er} janvier 2013 avec 115 oiseaux.
Les sp�cialistes pr�voient que 40\,\% des oiseaux pr�sents dans le
centre au 1\up{er} janvier d'une ann�e restent pr�sents le 1\up{er}
janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le
centre chaque ann�e.
On s'int�resse au nombre d'oiseaux pr�sents dans le centre au 1\up{er}
janvier des ann�es suivantes.
La situation peut �tre mod�lis�e par une suite $\left(u_{n}\right)$
admettant pour premier terme $u_{0} = 115$, le terme~$u_n$ donnant
une estimation du nombre d'oiseaux l'ann�e $2013 + n$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. Avec quelle pr�cision convient-il
de donner ces r�sultats ?
\vspace{-0.1cm}
\item Les sp�cialistes d�terminent le nombre d'oiseaux pr�sents dans
le centre au 1\up{er} janvier de chaque ann�e � l'aide d'un
algorithme.
\vspace{-0.1cm}
\bgen[a)]
\item Parmi les trois algorithmes propos�s ci-dessous, seul
l'\textbf{algorithme 3} permet d'estimer le nombre d'oiseaux
pr�sents au 1\up{er} janvier de l'ann�e $2013 + n$.
Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le
r�sultat attendu.
\medskip
\hspace{-1.5cm}
\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{\textwidth}{|X|p{0.1cm}|X|p{0.1cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\
$U$ est un nombre r�el&&$U$ est un nombre r�el&&$U$ est un nombre r�el\\
$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers\\
\textbf{D�but}&&\textbf{D�but}&&\textbf{D�but}\\
Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$\\
Affecter 115 � $U$&&Pour $i$ de 1 � $N$ faire&&Affecter 115 � $U$\\
Pour $i$ de 1 � $N$ faire&&\hspace{0.25cm}| Affecter 115 � $U$&&Pour i de 1 � N faire \\
\hspace{0.25cm}| Affecter $0,6 \times U + 120$ � $U$&&\hspace{0.25cm}| Affecter $0,4 \times U + 115$ � $U$&&\hspace{0.25cm}| Affecter $0,4 \times U + 120$ � $U$\\
Fin Pour&&Fin Pour&&Fin Pour\\
Afficher $U$&&Afficher $U$&&Afficher $U$\\
{\bf Fin}&&{\bf Fin}&&{\bf Fin}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 1}}&\multicolumn{1}{p{0.15cm}}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 2}}&\multicolumn{1}{p{0.15cm}}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 3}}\\
\end{tabularx}
\end{footnotesize}
\item Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$.
\enen
\item On consid�re la suite $\left(v_{n}\right)$ d�finie pour tout
entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 200$.
\bgen[a)]
\item Montrer que $\lp v_{n}\rp$ est une suite g�om�trique
de raison $0,4$.
Pr�ciser $v_{0}$.
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$,
$v_{n}$ en fonction de $n$.
\item En d�duire que pour tout entier naturel $n$,
$u_{n} = 200 - 85 \times 0,4^n$.
\item La capacit� d'accueil du centre est de $200$~oiseaux.
Est-ce suffisant ? Justifier la r�ponse.
\enen
\item Chaque ann�e, le centre touche une subvention de $20$~euros par
oiseau pr�sent au 1\up{er} janvier.
Calculer le montant total des subventions per�ues par le centre
entre le 1\up{er} janvier 2013 et le 31 d�cembre 2018 si l'on
suppose que l'�volution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les
m�mes modalit�s durant cette p�riode.
\end{enumerate}
\enex
\vspace{-0.4cm}
\bgex\hrulefill{\sl Bac France m�troplitaine - 2013 - 7 points}
Sur le graphique ci-dessous, on a trac�, dans le plan muni d'un rep�re
orthonorm� $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$, la courbe repr�sentative
$\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ d�finie et d�rivable sur l'intervalle
$] 0~;~+ \infty[$.
\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.8)(9,2.2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-1.5,-2)(9,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(1,0)(1,2)
\psline(-1.5,2)(9,2)
\uput[dr](1,0){$A$}\uput[u](1,2){$B$}\uput[ul](0,2){$C$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](8,0.8){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0.278}{9}{x ln 2 mul 2 add x div}
\end{pspicture}
\end{center}
On dispose des informations suivantes :
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item les points $A$, $B$, $C$ ont pour coordonn�es respectives
$(1~;~0)$, $(1~;~2)$, $(0~;~2)$;
\item la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $B$ et la droite
$(BC)$ est tangente � $\mathcal{C}$ en $B$;
\vspace{-0.2cm}
\item il existe deux r�els positifs $a$ et $b$ tels que pour tout r�el
strictement positif $x$,
$f(x) = \dfrac{a + b\ln x}{x}$.
\end{itemize}
\vspace{-0.2cm}
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item En utilisant le graphique, donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.
\item V�rifier que pour tout r�el strictement positif $x$,
$f'(x) = \dfrac{(b - a) - b \ln x}{x^2}$.
\vspace{-0.2cm}
\item En d�duire les r�els $a$ et $b$.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Justifier que pour tout r�el $x$ de l'intervalle
$]0~;~+\infty[$, $f'(x)$ a le m�me signe que~$-\ln x$.
\item D�terminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$.
\vspace{-0.2cm}
On pourra remarquer que pour tout r�el $x$ strictement positif,
$f(x) = \dfrac{2}{x} + 2\;\dfrac{\ln x}{x}$.
\item En d�duire le tableau de variations de la fonction $f$.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item D�montrer que l'�quation $f(x) = 1$ admet une unique solution
$\alpha$ sur l'intervalle $]0~;~1]$.
\item Par un raisonnement analogue, on d�montre qu'il existe un
unique r�el $\beta$ de l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ tel que
$f(\beta) = 1$.
D�terminer l'entier $n$ tel que $n < \beta < n + 1$.
\enen
\item On donne l'algorithme\index{algorithme} ci-dessous.
\[\begin{tabular}{|l l|}\hline
Variables :& $a, b$ et $m$ sont des nombres r�els.\\
Initialisation :& Affecter � $a$ la valeur $0$. \\
&Affecter � $b$ la valeur 1.\\
Traitement :& Tant que $b - a > 0,1$\\
&\begin{tabular}{l|l}
~~& Affecter � $m$ la valeur $\dfrac{1}{2}(a + b)$.\\
~~& Si $f(m) < 1$ alors Affecter � $a$ la valeur $m$.\\
~~&Sinon Affecter � $b$ la valeur $m$.\\
~~&Fin de Si.\\
\end{tabular}\\
&Fin de Tant que.\\
Sortie :&Afficher $a$.\\
& Afficher $b$.\\ \hline
\end{tabular}
\]
\bgen[a)]
\item Faire tourner cet algorithme en compl�tant le tableau
ci-dessous que l'on recopiera sur la copie.
\[
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&�tape 1 &�tape 2 &�tape 3 &�tape 4 &�tape 5 \\ \hline
$a$&0&&&&\\ \hline
$b$&1&&&&\\ \hline
$b - a$&&&&&\\ \hline
$m$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\]
\item Que repr�sentent les valeurs affich�es par cet algorithme ?
\item Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux
bornes d'un encadrement de $\beta$ d'amplitude $10^{-1}$.
\enen
\item Le but de cette question est de d�montrer que la courbe
$\mathcal{C}$ partage le rectangle $OABC$ en deux domaines d'aires
�gales.
\vspace{-0.4cm}
\bgen[a)]
\item Justifier que cela revient � d�montrer que
$\dsp\int_{\frac{1}{e}}^1 f(x)\,dx = 1$.
\vspace{-0.3cm}
\item En remarquant que l'expression de $f(x)$ peut s'�crire
$\dfrac{2}{x}+2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x$, terminer la
d�monstration.
\enen
\enen
\enex
\vspace{-0.4cm}
\bgex\hrulefill{\sl Bac France m�troplitaine (extrait) - 2012}
Soit $(u_n)$ la suite d�finie pour tout entier stritement positif par
$v_n=1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n-\ln n$.
On consid�re l'algorithme suivant:
\vspace{-0.4cm}
\[
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables:
& $i$ et $n$ sont des entiers naturels \\
& $u$ est un r�el
\\
Entr�e:
& Demander � l'utilisateur la valeur de $n$
\\
Initialisation:
& Affecter � $u$ la valeur $0$
\\
Traitement:
& Pour $i$ variant de $1$ � $n$ \\
& \PI Affecter � $u$ la valeur $u+\dfrac1i$
\\
Sortie:
& Afficher $u$
\\\hline
\end{tabular}
\]
\vspace{-0.6cm}
\bgen
\item Donner la valeur exacte affich�e par cet algorithme lorsque
l'utilisateur entre la valeur de $n=3$.
\vspace{-0.1cm}
\item Compl�ter l'algorithme pr�c�dent afin qu'il affiche la valeur de
$u_n$ lorsque l'utilisateur entre la valeur de $n$.
\enen
\enex
\vspace{-0.4cm}
\bgex\hrulefill{\sl Bac Polyn�sie - 2012}
\noindent
{\bf Partie A}
On consid�re l'algorithme suivant:
les variables sont le r�el $U$ et les entiers naturels $k$ et~$N$.
\[
\begin{tabular}{|l|l|}\hline
{\bf Entr�e}
& Saisir le nombre entier naturel non nul $N$
\\\hline
{\bf Traitement}
& Affecter � $U$ la valeur $0$ \\
& Pour $k$ allant de $0$ � $N-1$ \\
& \PI Affecter � $U$ la valeur $3U-2k+3$ \\
& Fin pour
\\\hline
{\bf Sortie}
& Afficher $U$
\\\hline
\end{tabular}
\]
Quel est l'affichage en sortie pour $N=3$ ?
\vspd\noindent
{\bf Partie B}
On consid�re la suite $(u_n)$ d�finie par $u_0=0$ et,
pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=3u_n-2n+3$.
\bgen
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item
\bgen[a.]
\item D�montrer par r�currence que, pour tout entier naturel $n$,
$u_n\geqslant n$.
\item En d�duire la limite de la suite $(u_n)$.
\enen
\item D�montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
\item Soit la suite $(v_n)$ d�finie, pour tout entier naturel $n$,
par $v_n=u_n-n+1$.
\bgen[a.]
\item D�montrer que la suite $(v_n)$ est g�om�trique.
\item En d�duire que, pour tout entier naturel $n$,
$u_n=3^n+n-1$.
\enen
\item Soit $p$ un entier naturel non nul.
\bgen[a.]
\item Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier
$n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$,
$u_n\geqslant 10^p$.
{\sl On s'int�resse maintenant au plus petit entier $n_0$. }
\item D�terminer � la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur
$p=2$.
\item Proposer un algorithme qui, pour une valeur de $p$ donn�e en
entr�e, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel
que, pour tout $n\geqslant n_0$, on ait
$u_n\geqslant 10^p$.
\enen
\enen
\enex
\vspace{-0.4cm}
\bgex\hrulefill{\sl Bac centres �trangers 2012}
On consid�re la suite $(I_n)$ d�finie pour tout entier naturel non nul
par:
$\dsp I_n=\int_0^1 x^n e^{x^2}\,dx\ .$
\vspace{-0.3cm}
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Soit $g$ la fonction d�finie par $g(x)=xe^{x^2}$.
D�montrer que la fonction $G$ d�finie sur $\R$ par
$G(x)=\dfrac12 e^{x^2}$ est une primitive sur $\R$ de $g$.
\item En d�duire la valeur de $I_1$.
\item On donne la formule d'int�gration par parties:
pour toutes fonctions $u$ et $v$ d�rivables sur~$[a;b]$,
\vspace{-0.4cm}
\[\dsp \int_a^b u(x)v'(x)\,dx
=\Bigl[ u(x)v(x)\Bigr]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx\ .\]
En utilisant l'int�gration par parties, en posant $u(x)=x^{n+1}$
et $v'(x)=xe^{x^2}$, d�montrer que,
pour tout entier naturel $n$, sup�rieur ou �gal � 1, on a:
\vspace{-0.3cm}
\[
I_{n+2}=\dfrac12 e-\dfrac{n+1}{2}I_n\ .
\]
\vspace{-0.8cm}
\item Calculer $I_3$ et $I_5$.
\enen
\item On consid�re l'algorithme suivant:
$\begin{tabular}[t]{|l|l|}\hline
{\bf Initialisation}
& Affecter � $n$ la valeur $1$ \\
& Affecter � $u$ la valeur $\dfrac12 e-\dfrac12$
\\\hline
{\bf Traitement}
& Tant que $n<21$ \\
& \PI Affecter � $u$ la valeur $\dfrac12 e-\dfrac{n+1}{2}u$ \\
& \PI Affecter � $n$ la valeur $n+2$
\\\hline
{\bf Sortie}
& Afficher $u$
\\\hline
\end{tabular}
$.
Quel terme de la suite $(I_n)$ obtient-on en sortie de cet
algorithme ?
\item
\bgen[a)]
\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$,
$I_n\geqslant 0$.
\item Montrer que la suite $(I_n)$ est d�croissante.
\item En d�duire que la suite $(I_n)$ est convergente.
On note $l$ sa limite.
\enen
\item {\sl Dans cette question, toute trace de recherche m�me
incompl�te, ou d'initiative m�me non fructueuse, sera prise en
compte dans l'�valuation.}
D�terminer la valeur de $l$.
\enen
\enex
\vspace{-0.5cm}
\bgex\hrulefill{\sl Bac Asie - 2012 }
\bgen
\item On consid�re l'algorithme suivant:
\vspace{-0.3cm}
\[\begin{tabular}{|l|l|}\hline
Entr�e
& Saisir un r�el strictement positif non nul $a$ \\
& Saisir un r�el strictement positif non nul $b$ ($b>a$)\\
& Saisir un entier naturel non nul $N$ \\
\hline
Initialisation
& Affecter � $u$ la valeur $a$ \\
& Affecter � $v$ la valeur $b$ \\
& Affecter � $n$ la valeur $0$ \\
\hline
Traitement
& Tant que $n<N$ \\
& \PI Affecter � $n$ la valeur $n+1$ \\
& \PI Affecter � $u$ la valeur $\dfrac{a+b}{2}$ \\
& \PI Affecter � $v$ la valeur $\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$ \\
& \PI Affecter � $a$ la valeur $u$ \\
& \PI Affecter � $b$ la valeur $v$ \\
\hline
Sortie
& Afficher $u$, afficher $v$ \\\hline
\end{tabular}
\]
\vspace{-0.3cm}
Reproduire et compl�ter le tableau suivant,
en faisant fonctionner cet algorithme
pour $a=4$, $b=9$ et $N=2$.
Les valeurs successives de $u$ et $v$ seront arrondies au milli�me.
\[\begin{tabular}{|*5{p{2cm}|}}\hline
$n$ & $a$ & $b$ & $u$ & $v$
\\\hline
$0$ & $4$ & $9$ & &
\\\hline
$1$ & & & &
\\\hline
$2$ & & & &
\\\hline
\end{tabular}
\]
\vspace{-0.2cm}
Dans la suite, $a$ et $b$ sont deux r�els tels que $0<a<b$.
On consid�re les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ d�finies par:
$u_0=a$, $v_0=b$ et, pour tout entier naturel $n$:
\vspace{-0.4cm}
\[u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}
\quad\text{ et }\quad
v_{n+1}=\sqrt{\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}}\ .\]
\item
\bgen[a.]
\item D�montrer par r�currence que, pour tout entier naturel $n$,
on a: $u_n>0$ et $v_n>0$.
\item D�montrer que, pour tout entier naturel $n$:
$v_{n+1}^2-u_{n+1}^2=\lp\dfrac{u_n-v_n}{2}\rp^2$.
En d�duire que, pour tout entier naturel $n$, on a
$u_n\leqslant v_n$.
\enen
\item
\bgen[a.]
\item D�montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
\item Comparer $v_{n+1}^2$ et $v_n^2$.
En d�duire le sens de variation de la suite $(v_n)$.
\enen
\item D�montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont convergentes.
\enen
\enex
\end{document}
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