Source Latex: Exercices de mathématiques, Algorithmique, annales de Bac

Algorithmique, annales de Bac

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Type: Exercices

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Description

Annales et exercices de mathématiques, terminale S: algorithmique au bac S

Niveau

Terminale S

Table des matières

• Bac ES-L Pondichéry 2014
• Bac France métroplitaine - 2013
• Bac France métroplitaine (extrait) - 2012
• Bac Polynésie - 2012
• Bac centres étrangers 2012
• Bac Asie - 2012

Mots clé

Annales bac S, exercices d'algorithmique, algorithmique, algorithme, programmation, terminale S, TS, bac S

Quelques devoirs

Devoir corrigé

Bac blanc 2019-2020

Bac blanc...

Devoir corrigé

Bac S 2019, métropole (septembre)

Probabilités: loi normale - Fonction exponentielle, intégrales et algorithme (Monté Carlo) - Vrai/faux: géométrie dans l'espace - Suite récurrente définie avec une fonction homograhique

Devoir corrigé

Bac S 2019, métropole

Fonction exponentielle, intégrales - Probabilités: lois uniforme et normale, arbre de probabilités, suite de probabilités - Vrai/faux: complexes, asymptote, algorithme - Géométrie dans l'espace

Devoir corrigé

Bac S 2018, métropole

Fonction exponentielle, algorithme - Probabilités: arbre de probabilités, lois binomiale et normale - Géométrie dans l'espace - Suite et nombres complexes

Devoir corrigé

Bac blanc, année 2015-2016

Nombres complexes - Fonction exponentielle, suite récurrente - Probabilités - Suite récurrente et un algorithme

Voir aussi:

Documentation sur LaTeX

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\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

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\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours math�matiques: algorithmique},
    pdftitle={Algorithmique},
    pdfkeywords={Math�matiques, algorithmique, programmation, 
      lyc�e, 2nde, seconde, 1S,
      premi�re, S, 1�reS, 1�re S, terminale, terminale S, 
      Bac, baccalaur�at, python}
}
\hypersetup{
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    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
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    urlcolor = red
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
\textheight=26.3cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18.5cm
\oddsidemargin=-1.3cm
\parindent=0.2cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{D�monstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
  \end{flushright}
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Concernant la mise en page des algo:
\definecolor{grayp}{gray}{0.8}
\definecolor{graypc}{gray}{0.65}
\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.6cm}

\nwc{\PI}{\hspace*{\ProgIndent}}
\nwc{\DPI}{\hspace*{2\ProgIndent}}
\nwc{\TPI}{\hspace*{3\ProgIndent}}
\nwc{\QPI}{\hspace*{4\ProgIndent}}

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\nwc{\Prog}[3]{%
  %\par\vspd%
  \bgmp[t]{#2+0.5cm}%\linewidth}
  \hspace*{-0.3pt}\hspace*{-\parindent}\hspace*{-1ex}%
  \psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=graypc]{
    \emph{\textcolor{white}{\!\!#1}}} \\
  \vspace*{-0.5ex}\\
  \bgmp{#2}
  %\setlength{\fboxrule}{0.1pt}
  \settototalheight{\phgn}{\phantom{\bgmp{#2}#3\enmp}}
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  \pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=grayp]%
  (-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)(\plgng,0)%
  (\plgng,\phgtqg)(\plgtqg,-\phgng)(-0.5ex,-\phgng)
  \pspolygon[linewidth=0.6pt,linecolor=graypc,fillstyle=solid,fillcolor=graypc]%
  (\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white]%
  (-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)%
  (\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
  \par
  \bgmp{\linewidth}#3\enmp
  \enmp
  \enmp
  \vspd
}

% et pour les progs casio:
\nwc{\return}{
  \psset{unit=1cm,arrowsize=4pt}
  \psline{<-}(0,0.1)(0.3,0.1)(0.3,0.25)}
\nwc{\disp}{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0)(0.2,0)(0.2,0.15)}



% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Algorithmique - Annales de Bac}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancyplain}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\ - $T^{\text{\scriptsize{ale}}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - $T^{\text{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.7cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\vspace{-0.4cm}

\bgex\hrulefill{\sl Bac ES-L Pondich�ry 2014 - 5 points}

\noindent Une association d�cide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux
sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis
rel�cher ces oiseaux une fois gu�ris. 

Le centre ouvre ses portes le 1\up{er} janvier 2013 avec 115 oiseaux.
 
Les sp�cialistes pr�voient que 40\,\% des oiseaux pr�sents dans le
centre au 1\up{er} janvier d'une ann�e restent pr�sents le 1\up{er}
janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le
centre chaque ann�e. 
 
On s'int�resse au nombre d'oiseaux pr�sents dans le centre au 1\up{er}
janvier des ann�es suivantes.  

La situation peut �tre mod�lis�e par une suite $\left(u_{n}\right)$
admettant pour premier terme $u_{0} = 115$, le terme~$u_n$ donnant
une estimation du nombre d'oiseaux l'ann�e $2013 + n$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. Avec quelle pr�cision convient-il
  de donner ces r�sultats ?  
\vspace{-0.1cm}
\item Les sp�cialistes d�terminent le nombre d'oiseaux pr�sents dans
  le centre au 1\up{er} janvier de chaque ann�e � l'aide d'un
  algorithme.
  \vspace{-0.1cm}
  \bgen[a)]
  \item Parmi les trois algorithmes propos�s ci-dessous, seul
    l'\textbf{algorithme 3} permet d'estimer le nombre d'oiseaux
    pr�sents au 1\up{er} janvier de l'ann�e $2013 + n$. 
		 
    Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le
    r�sultat attendu. 

\medskip
\hspace{-1.5cm}
\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{\textwidth}{|X|p{0.1cm}|X|p{0.1cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\ 
$U$ est un nombre r�el&&$U$ est un nombre r�el&&$U$ est un nombre r�el\\ 
$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers\\
\textbf{D�but}&&\textbf{D�but}&&\textbf{D�but}\\ 
Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$\\
Affecter 115 � $U$&&Pour $i$ de 1 � $N$ faire&&Affecter 115 � $U$\\ 
Pour $i$ de 1 � $N$ faire&&\hspace{0.25cm}| Affecter 115 � $U$&&Pour i de 1 � N faire \\ 
\hspace{0.25cm}| Affecter $0,6 \times U + 120$ � $U$&&\hspace{0.25cm}| Affecter $0,4 \times U + 115$ � $U$&&\hspace{0.25cm}| Affecter $0,4 \times U + 120$ � $U$\\
Fin Pour&&Fin Pour&&Fin Pour\\ 
Afficher $U$&&Afficher $U$&&Afficher $U$\\ 
{\bf Fin}&&{\bf Fin}&&{\bf Fin}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 1}}&\multicolumn{1}{p{0.15cm}}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 2}}&\multicolumn{1}{p{0.15cm}}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 3}}\\
\end{tabularx}
\end{footnotesize} 
\item Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
\enen
\item On consid�re la suite $\left(v_{n}\right)$ d�finie pour tout
  entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 200$.  
  \bgen[a)]
  \item Montrer que $\lp v_{n}\rp$ est une suite g�om�trique 
    de raison $0,4$. 
    Pr�ciser $v_{0}$. 
  \item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, 
    $v_{n}$ en fonction de $n$. 
  \item En d�duire que pour tout entier naturel $n$, 
    $u_{n} = 200 - 85 \times 0,4^n$. 
  \item La capacit� d'accueil du centre est de $200$~oiseaux. 
    Est-ce suffisant ? Justifier la r�ponse.
  \enen
\item Chaque ann�e, le centre touche une subvention de $20$~euros par
  oiseau pr�sent au 1\up{er} janvier. 
 
  Calculer le montant total des subventions per�ues par le centre
  entre le 1\up{er} janvier 2013 et le 31 d�cembre 2018 si l'on
  suppose que l'�volution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les
  m�mes modalit�s durant cette p�riode.  
\end{enumerate}
\enex

\vspace{-0.4cm}
\bgex\hrulefill{\sl Bac France m�troplitaine - 2013 - 7 points}

Sur le graphique ci-dessous, on a trac�, dans le plan muni d'un rep�re
orthonorm� $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$, la courbe repr�sentative
$\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ d�finie et d�rivable sur l'intervalle
$] 0~;~+ \infty[$. 


\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.8)(9,2.2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-1.5,-2)(9,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(1,0)(1,2)
\psline(-1.5,2)(9,2)
\uput[dr](1,0){$A$}\uput[u](1,2){$B$}\uput[ul](0,2){$C$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](8,0.8){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0.278}{9}{x ln 2 mul 2 add x div}
\end{pspicture}
\end{center}
 
On dispose des informations suivantes :
 
\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item les points $A$, $B$, $C$ ont pour coordonn�es respectives
  $(1~;~0)$, $(1~;~2)$, $(0~;~2)$; 
\item la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $B$ et la droite
  $(BC)$ est tangente � $\mathcal{C}$ en $B$;  
\vspace{-0.2cm}
\item il existe deux r�els positifs $a$ et $b$ tels que pour tout r�el
  strictement positif $x$, 
$f(x) = \dfrac{a + b\ln x}{x}$.
\end{itemize}

\vspace{-0.2cm}
\bgen
\item 
  \bgen[a)]
  \item En utilisant le graphique, donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.  
  \item V�rifier que pour tout r�el strictement positif $x$, 
    $f'(x) = \dfrac{(b - a) - b \ln x}{x^2}$. 
    \vspace{-0.2cm}
  \item En d�duire les r�els $a$ et $b$.
  \enen

\item 
  \bgen[a)]
  \item Justifier que pour tout r�el $x$ de l'intervalle
    $]0~;~+\infty[$, $f'(x)$ a le m�me signe que~$-\ln x$.  
  \item D�terminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$. 

    \vspace{-0.2cm}
    On pourra remarquer que pour tout r�el $x$ strictement positif, 
    $f(x) = \dfrac{2}{x} + 2\;\dfrac{\ln x}{x}$. 
  \item En d�duire le tableau de variations de la fonction $f$.
  \enen
\item
  \bgen[a)]
  \item D�montrer que l'�quation $f(x) = 1$ admet une unique solution
    $\alpha$ sur l'intervalle $]0~;~1]$.  
  \item Par un raisonnement analogue, on d�montre qu'il existe un
    unique r�el $\beta$ de l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ tel que
   $f(\beta) = 1$. 
   D�terminer l'entier $n$ tel que $n < \beta < n + 1$.
  \enen
\item On donne l'algorithme\index{algorithme} ci-dessous.
  \[\begin{tabular}{|l l|}\hline 
    Variables :& $a, b$ et $m$ sont des nombres r�els.\\ 
    Initialisation :& Affecter � $a$ la valeur $0$. \\
    &Affecter � $b$ la valeur 1.\\ 
    Traitement :& Tant que $b - a > 0,1$\\ 
    &\begin{tabular}{l|l}
       ~~& Affecter � $m$ la valeur $\dfrac{1}{2}(a + b)$.\\ 
       ~~& Si $f(m) < 1$ alors Affecter � $a$ la valeur $m$.\\ 
       ~~&Sinon Affecter � $b$ la valeur $m$.\\ 
       ~~&Fin de Si.\\
     \end{tabular}\\ 
    &Fin de Tant que.\\ 
    Sortie :&Afficher $a$.\\
    & Afficher $b$.\\ \hline
  \end{tabular} 
  \]
  \bgen[a)]
  \item Faire tourner cet algorithme en compl�tant le tableau
    ci-dessous que l'on recopiera sur la copie. 
    \[
    \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
      &�tape 1 &�tape 2 &�tape 3 &�tape 4 &�tape 5 \\ \hline
      $a$&0&&&&\\ \hline 
      $b$&1&&&&\\ \hline 
      $b - a$&&&&&\\ \hline 
      $m$&&&&&\\ \hline
    \end{tabularx}
    \]
  \item Que repr�sentent les valeurs affich�es par cet algorithme ?  
  \item Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux
    bornes d'un encadrement de $\beta$ d'amplitude $10^{-1}$. 
  \enen
\item Le but de cette question est de d�montrer que la courbe
  $\mathcal{C}$ partage le rectangle $OABC$ en deux domaines d'aires
  �gales.  

  \vspace{-0.4cm}
  \bgen[a)]
  \item Justifier que cela revient � d�montrer que
    $\dsp\int_{\frac{1}{e}}^1 f(x)\,dx = 1$.  
    \vspace{-0.3cm}
  \item En remarquant que l'expression de $f(x)$ peut s'�crire
    $\dfrac{2}{x}+2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x$, terminer la
    d�monstration. 
  \enen
\enen
\enex

\vspace{-0.4cm}
\bgex\hrulefill{\sl Bac France m�troplitaine (extrait) - 2012}

Soit $(u_n)$ la suite d�finie pour tout entier stritement positif par 
$v_n=1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n-\ln n$. 

On consid�re l'algorithme suivant: 
\vspace{-0.4cm}
\[
\begin{tabular}{|ll|}\hline
  Variables: 
  & $i$ et $n$ sont des entiers naturels \\
  & $u$ est un r�el 
  \\
  Entr�e: 
  & Demander � l'utilisateur la valeur de $n$
  \\
  Initialisation: 
  & Affecter � $u$ la valeur $0$
  \\
  Traitement: 
  & Pour $i$ variant de $1$ � $n$ \\
  & \PI Affecter � $u$ la valeur $u+\dfrac1i$
  \\
  Sortie: 
  & Afficher $u$
  \\\hline
\end{tabular}
\]
\vspace{-0.6cm}
\bgen
\item Donner la valeur exacte affich�e par cet algorithme lorsque 
  l'utilisateur entre la valeur de $n=3$. 
\vspace{-0.1cm}
\item Compl�ter l'algorithme pr�c�dent afin qu'il affiche la valeur de
  $u_n$ lorsque l'utilisateur entre la valeur de $n$. 
\enen
\enex

\vspace{-0.4cm}
\bgex\hrulefill{\sl Bac Polyn�sie - 2012}

\noindent
{\bf Partie A} 
On consid�re l'algorithme suivant: 
les variables sont le r�el $U$ et les entiers naturels $k$ et~$N$. 

\[
\begin{tabular}{|l|l|}\hline
  {\bf Entr�e} 
  & Saisir le nombre entier naturel non nul $N$ 
  \\\hline
  {\bf Traitement} 
  & Affecter � $U$ la valeur $0$ \\
  & Pour $k$ allant de $0$ � $N-1$ \\
  & \PI Affecter � $U$ la valeur $3U-2k+3$ \\
  & Fin pour 
  \\\hline
  {\bf Sortie} 
  & Afficher $U$
  \\\hline
\end{tabular}
\]
Quel est l'affichage en sortie pour $N=3$ ?

\vspd\noindent
{\bf Partie B}
On consid�re la suite $(u_n)$ d�finie par $u_0=0$ et, 
pour tout entier naturel $n$, 
$u_{n+1}=3u_n-2n+3$. 

\bgen
\item Calculer $u_1$ et $u_2$. 
\item 
  \bgen[a.]
  \item D�montrer par r�currence que, pour tout entier naturel $n$, 
    $u_n\geqslant n$. 
  \item En d�duire la limite de la suite $(u_n)$. 
  \enen
\item D�montrer que la suite $(u_n)$ est croissante. 
\item Soit la suite $(v_n)$ d�finie, pour tout entier naturel $n$, 
  par $v_n=u_n-n+1$. 
  \bgen[a.]
  \item D�montrer que la suite $(v_n)$ est g�om�trique. 
  \item En d�duire que, pour tout entier naturel $n$, 
    $u_n=3^n+n-1$. 
  \enen

\item Soit $p$ un entier naturel non nul. 
  \bgen[a.] 
  \item Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier
    $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, 
    $u_n\geqslant 10^p$. 

    {\sl On s'int�resse maintenant au plus petit entier $n_0$. }
  \item D�terminer � la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur
    $p=2$. 
  \item Proposer un algorithme qui, pour une valeur de $p$ donn�e en
    entr�e, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel
    que, pour tout $n\geqslant n_0$, on ait 
    $u_n\geqslant 10^p$. 
  \enen
\enen
\enex

\vspace{-0.4cm}
\bgex\hrulefill{\sl Bac centres �trangers 2012} 

On consid�re la suite $(I_n)$ d�finie pour tout entier naturel non nul
par: 
$\dsp I_n=\int_0^1 x^n e^{x^2}\,dx\ .$

\vspace{-0.3cm}
\bgen
\item 
  \bgen[a)]
  \item Soit $g$ la fonction d�finie par $g(x)=xe^{x^2}$. 
    
    D�montrer que la fonction $G$ d�finie sur $\R$ par 
    $G(x)=\dfrac12 e^{x^2}$ est une primitive sur $\R$ de $g$. 
  \item En d�duire la valeur de $I_1$. 
  \item On donne la formule d'int�gration par parties: 
    pour toutes fonctions $u$ et $v$ d�rivables sur~$[a;b]$, 
    \vspace{-0.4cm}
    \[\dsp \int_a^b u(x)v'(x)\,dx
    =\Bigl[ u(x)v(x)\Bigr]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx\ .\]
    En utilisant l'int�gration par parties, en posant $u(x)=x^{n+1}$
    et $v'(x)=xe^{x^2}$, d�montrer que, 
    pour tout entier naturel $n$, sup�rieur ou �gal � 1, on a: 
    \vspace{-0.3cm}
    \[
    I_{n+2}=\dfrac12 e-\dfrac{n+1}{2}I_n\ .
    \]
    \vspace{-0.8cm}
  \item Calculer $I_3$ et $I_5$.     
  \enen

\item On consid�re l'algorithme suivant: 
  $\begin{tabular}[t]{|l|l|}\hline
    {\bf Initialisation} 
    & Affecter � $n$ la valeur $1$ \\
    & Affecter � $u$ la valeur $\dfrac12 e-\dfrac12$ 
    \\\hline
    {\bf Traitement} 
    & Tant que $n<21$ \\
    & \PI Affecter � $u$ la valeur $\dfrac12 e-\dfrac{n+1}{2}u$ \\
    & \PI Affecter � $n$ la valeur $n+2$
    \\\hline
    {\bf Sortie} 
    & Afficher $u$
    \\\hline
  \end{tabular}
  $.

  Quel terme de la suite $(I_n)$ obtient-on en sortie de cet
  algorithme ?

\item 
  \bgen[a)]
  \item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, 
    $I_n\geqslant 0$. 
  \item Montrer que la suite $(I_n)$ est d�croissante. 
  \item En d�duire que la suite $(I_n)$ est convergente. 
    On note $l$ sa limite. 
  \enen
\item {\sl Dans cette question, toute trace de recherche m�me
  incompl�te, ou d'initiative m�me non fructueuse, sera prise en
  compte dans l'�valuation.} 

  D�terminer la valeur de $l$. 
\enen
\enex

\vspace{-0.5cm}
\bgex\hrulefill{\sl Bac Asie - 2012 }
\bgen
\item On consid�re l'algorithme suivant: 
\vspace{-0.3cm}
\[\begin{tabular}{|l|l|}\hline
Entr�e 
& Saisir un r�el strictement positif non nul $a$ \\
& Saisir un r�el strictement positif non nul $b$ ($b>a$)\\
& Saisir un entier naturel non nul $N$ \\
\hline
Initialisation 
& Affecter � $u$ la valeur $a$ \\
& Affecter � $v$ la valeur $b$ \\
& Affecter � $n$ la valeur $0$ \\
\hline
Traitement 
& Tant que $n<N$ \\
& \PI Affecter � $n$ la valeur $n+1$ \\
& \PI Affecter � $u$ la valeur $\dfrac{a+b}{2}$ \\
& \PI Affecter � $v$ la valeur $\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$ \\
& \PI Affecter � $a$ la valeur $u$ \\
& \PI Affecter � $b$ la valeur $v$ \\
\hline
Sortie
& Afficher $u$, afficher $v$ \\\hline
\end{tabular}
\]

\vspace{-0.3cm}
Reproduire et compl�ter le tableau suivant, 
en faisant fonctionner cet algorithme 
pour $a=4$, $b=9$ et $N=2$. 
Les valeurs successives de $u$ et $v$ seront arrondies au milli�me. 
\[\begin{tabular}{|*5{p{2cm}|}}\hline
$n$ & $a$ & $b$ & $u$ & $v$ 
\\\hline
$0$ & $4$ & $9$ & & 
\\\hline
$1$ & & & & 
\\\hline
$2$ & & & & 
\\\hline
\end{tabular}
\]

\vspace{-0.2cm}
Dans la suite, $a$ et $b$ sont deux r�els tels que $0<a<b$. 
On consid�re les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ d�finies par: 
$u_0=a$, $v_0=b$ et, pour tout entier naturel $n$: 

\vspace{-0.4cm}
\[u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}
\quad\text{ et }\quad
v_{n+1}=\sqrt{\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}}\ .\]

\item 
  \bgen[a.] 
  \item D�montrer par r�currence que, pour tout entier naturel $n$, 
    on a: $u_n>0$ et $v_n>0$. 
  \item D�montrer que, pour tout entier naturel $n$: 
    $v_{n+1}^2-u_{n+1}^2=\lp\dfrac{u_n-v_n}{2}\rp^2$.

    En d�duire que, pour tout entier naturel $n$, on a 
    $u_n\leqslant v_n$. 
  \enen

\item 
  \bgen[a.]
  \item D�montrer que la suite $(u_n)$ est croissante. 
  \item Comparer $v_{n+1}^2$ et $v_n^2$. 
    En d�duire le sens de variation de la suite $(v_n)$. 
  \enen

\item D�montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont convergentes. 

\enen
\enex

\end{document}

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