Calculs de primitives de fonctions

Exercices corrigés et détaillés

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Dérivée des fonctions usuelles & Opérations sur les dérivées

Exercices corrigés: recherche de primitives

1. f (x) = x⁸ + x²
   
   F(x) = 19x⁹ + 13x³ + k
   Comme la dérivée de xⁿ est nxⁿ⁻¹, pour obtenir x⁸ après dérivation, il faut partir de la primitive x⁹.
   Enfin, comme la dérivée de x⁹ est précisément 9x⁸, il faut diviser par 9.
   En raisonnant de même pour le terme x², on arrive aux primitives, en pensant à ajouter une constante, soit, pour tout réel k:

   F(x) = 19x⁹ + 13x³ + k
2. f (x) = 3x² + 5x + 1
   F(x) = x³ + 52x² + x + k
   On décompose la somme des termes de ce polynôme, qui sont de la forme xⁿ et dont on cherche une primitive de la forme xⁿ⁺¹. La premier terme 3x² est directement la dérivée de x³, tandis que pour le deuxième, il s'agit de la dérivée de x² en pensant à diviser par 2.
   Enfin le dernier terme constant 1 est la dérivée de x, et on n'oublie pas d'ajouter les constantes, soit, pour tout réel k:

   F(x) = x³ + 52x² + x + k
3. f (x) = x⁴3 − 12x² + 32
   F (x) = 115x⁵ − 4x³ + 32x + k
   On peut réécrire f (x) sous la forme

   f (x) = 13x⁴ − 12x² + 32

   Comme dans les calculs précédents, on décompose la somme des termes de ce polynôme, qui sont de la forme xⁿ et dont on cherche une primitive de la forme 1n+1xⁿ⁺¹. On trouve ainsi,

   F (x) = 13×15x⁵ −12×13x³ + 32x + k

   soit finalement,

   F (x) = 115x⁵ − 4x³ + 32x + k
4. f (x) = 1x² + 3x
   F(x) = −1x + 32x² + k
   Comme −1x² est la dérivée de 1x, on a directement F(x) = −1x + 32x² + k
5. f (x) = −23x + 3x²
   F(x) = −13x² − 3x + k
   En écrivant 3x² = 3×1x² , et en utilisant le fait que −1x est une primitive de 1x² , on a
   

   F(x) = −23×12x² + 3×−1x + k

   soit finalement,

   F(x) = −13x² − 3x + k
6. f (x) = −1(x − 2)²
   F(x) = 1x − 2 + k
   f = −u'u² est la dérivée de 1u avec u(x) = x − 2 et donc
   F(x) = 1x − 2 + k
7. f (x) = 3(2x−3)²
   F(x) = −32× 12x − 3 + k
   De même qu'à la question précédente, on utilise la formule de dérivée de 1u avec u(x) = 2x − 3 et alors u'(x) = 2, et il reste à multiplier par −32 pour obtenir exactement f, soit
   F(x) = −32× 12x − 3 + k
8. f (x) = 5(−2x+1)² + 3
   F(x) = 52× 1−2x + 1 + 3x + k
   De même qu'à la question précédente, on utilise la formule de dérivée de 1u avec u(x) = −2x + 1 et alors u'(x) = −2, et il reste à multiplier par −52 pour obtenir exactement f.
   On n'oublie pas le deuxième: une primitive de 3 est simplement 3x.
   On trouve finalement
   F(x) = 52× 1−2x + 1 + 3x + k
9. f (x) = 2x(x² + 3)
   F(x) = 12 (x² + 3)² + k
   On peut soit développer, f (x) = 2x³ + 6x qui est alors un polynôme, soit remarquer que f est sous la forme u'u avec u(x) = x² + 3, et donc une primitve est de la forme 12u², soit plus exactement ici
   F(x) = 12 (x² + 3)² + k
10. f (x) = (x + 2)³
    F(x) = 14(x + 2)⁴ + k
    De même ici qu'avec la fonction précédente, avec u(x) = x + 2 et en considérant la dérivée de u⁴, on trouve que
    F(x) = 14(x + 2)⁴ + k
11. f (x) = (3x − 2)⁴
    F(x) = 115(3x − 2)⁵ + k
    De même ici, avec u(x) = 3x − 2 donc u'(x) = 3 et en considérant la dérivée de u⁵, on trouve que
    F(x) = 115(3x − 2)⁵ + k
12. f (x) = 2x
    F = 2 ln(x) + k
    On réécrit f sous la forme f (x) = 2×1x, et comme 1x est la dérivée de ln(x), on a alors

    F = 2×ln(x) + k
13. f '(x) = 15x + 2
    F(x) = 15ln(5x+2) + k
    On a une fraction, sans carré (ou autre puissance) au dénominateur. La seule formule de dérivée qui y mène est la dérivée de ln(u) qui est u'u avec ici u(x) = 5x + 2 donc u'(x) = 5.
    Il reste donc à penser à diviser par 5, et on trouve donc

    F(x) = 15ln(5x+2) + k
14. f (x) = e^xe^x + 1
    F (x) = ln(e^x + 1 )
    Comme la dérivée de e^x + 1 est e^x, f est de la forme u'u avec u(x) = e^x + 1.
    On trouve alors les primitives sous la forme F = ln(u) + k, soit

    F (x) = ln(e^x + 1 ) + k
15. f (x) = 1x(1+ln(x))
    F(x) = ln(1+ln(x)) + k
    Comme la dérivée de u(x) = 1 + ln(x) est 1x, et que la fonction f est à nouveau une fraction sans carré, ni puissance au dénominateur, on essaie à nouveau d'utiliser la dérivée de ln(u) qui est u'u.
    Ici, on peut réécrire note fontion sous la forme

    f (x) = 1x (1+ln(x))

    qui est de la forme u'u avec u(x) = 1 + ln(x).
    Finalement, on trouve les primtives sous la forme F = ln(u), soit

    F(x) = ln(1+ln(x)) + k
16. f (x) = e^3x+1
    F(x) = 13e^3x+1 + k
    On a une exponentielle et on se dirige sans doute vers la formule de dérivation d'une exponentielle e^u dont la dérivée est u'e^u.
    Ici, u a forcément l'expression u(x) = 3x+1, donc u'(x) = 3.
    Il faut donc penser à diviser par 3 dans l'expression de la primitive, qui sont données par

    F(x) = 13e^3x+1 + k
17. f(x) = 2e^x(e^x + 1)²
    F (x) = −2e^x + 1 + k
    Dans nos formules de dérivées avec des quotients, la dérivée de l'inverse 1 u , qui est −u'u² avec u(x) = e^x + 1 peut convenir.
    Il faut juste penser à multiplier par −2 pour obtenir la bonne expression. On trouve donc finalement F = −2×1u soit

    F (x) = −2e^x + 1 + k
18. f (x) = e^2x(e^2x −2)³
    F(x) = 18 (e^2x − 2)⁴ + k
    f est sous la forme u'u³ avec u(x) = e^2x − 2, donc u'(x) = 2e^2x, et donc une primitive de f est de la forme 14u⁴, soit plus exactement ici en faisant attention au coefficient
    

    F(x) = 18 (e^2x − 2)⁴ + k
19. f(x) = −6xe^x2e^x2 + 1
    f(x) = ln(e^x2 + 1)
    En dérivant e^u, soit u'e^u, avec u(x) = x², on trouve que la dérivée de e^x2 est 2xe^x2, et ainsi f est de la forme u'u avec u(x) = e^x2 + 1.
    On trouve alors les primitives sous la forme ln(u) + k, soit ici, plus précisément en faisant attention à la constante multiplicative:

    F (x) = −3 ln(e^x2 + 1 ) + k