Exercice Bac S juin 2015 - Analyse
Pentes dans un skateparc, et surface à peindre
Exercice corrigé Bac S juin 2015: Etudes de fonctions avec un logarithme, calculs de pentes, tangentes, et intégrales
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Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune.
Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères ![]() ![]() ![]() Le plan de face ![]() L'unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, ![]() ![]() |
Le but du problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.
Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction
![$f](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2015-Metropole-juin/8.png)
![$[0;20]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2015-Metropole-juin/9.png)
![f(x) = (x + 1)\ln (x + 1) - 3x + 7.](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2015-Metropole-juin/10.png)
On note
![$f'](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2015-Metropole-juin/11.png)
![$f](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2015-Metropole-juin/12.png)
![$\mathcal{C}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2015-Metropole-juin/13.png)
![$f](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2015-Metropole-juin/14.png)
Partie 1
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4. On admet que la fonction
![$g](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2015-Metropole-juin/24.png)
![$[0;20]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2015-Metropole-juin/25.png)
![g(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^2\ln(x+1)-\dfrac{1}{4}x^2 -\dfrac{1}{2}x](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2015-Metropole-juin/26.png)
a pour dérivée la fonction
![$g'](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2015-Metropole-juin/27.png)
![$[0;20]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2015-Metropole-juin/28.png)
![$g'(x)=(x+1)\ln(x+1)](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2015-Metropole-juin/29.png)
Déterminer une primitive de la fonction
![$f](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2015-Metropole-juin/30.png)
![$[0;20]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/ex2015-Metropole-juin/31.png)
Partie 2
Les trois questions de cette partie sont indépendantes
- Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.
- [
:] La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
- [
:] L'inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en
qu'en
.
- [
- On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de
par litre.
Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.
-
On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.
Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O, I, J) du plan de face, les pointspour
variant de 0 à 20.
Ainsi,.
On décide d'approcher l'arc de la courbeallant de
à
par le segment
.
Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type(voir figure).
- Montrer que pour tout entier
variant de 0 à 19,
.
- Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante.
- Montrer que pour tout entier
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