Exercice bac corrigé - Probabilités: Bac S, Nouvelle Calédonie 2015
Probabilités conditionnelles, lois exponentielle et binomiale
Exercice corrigé de mathématiques: Exercice bac corrigé - Probabilités: Bac S Nouvelle Calédonie 2015, Probabilités conditionnelles, lois exponentielle et binomiale
Exercice - énoncé:
Une entreprise fabrique des puces électroniques qui sont utilisées
pour des matériels aussi différents que des téléphones portables, des
lave-linge ou des automobiles.
À la sortie de fabrication, 5 % d'entre elles présentent un défaut et sont donc éliminées. Les puces restantes sont livrées aux clients.
On dit qu'une puce a une durée de vie courte si cette durée de vie est inférieure ou égale à 1000 heures. On observe que 2 % des puces livrées ont une durée de vie courte.
On note l'évènement « La puce est livrée ».
On note C l'évènement « La puce a une durée de vie courte c'est-à-dire inférieure ou égale à 1000 heures ».
Étant donné deux évènements et , on note la probabilité conditionnelle de l'évènement sachant que l'évènement est réalisé.
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.
Cacher la correction
À la sortie de fabrication, 5 % d'entre elles présentent un défaut et sont donc éliminées. Les puces restantes sont livrées aux clients.
On dit qu'une puce a une durée de vie courte si cette durée de vie est inférieure ou égale à 1000 heures. On observe que 2 % des puces livrées ont une durée de vie courte.
On note l'évènement « La puce est livrée ».
On note C l'évènement « La puce a une durée de vie courte c'est-à-dire inférieure ou égale à 1000 heures ».
Étant donné deux évènements et , on note la probabilité conditionnelle de l'évènement sachant que l'évènement est réalisé.
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.
- On tire au hasard une puce fabriquée par l'entreprise.
- Donner la valeur .
- Quelle est la probabilité que la puce soit livrée et ait une durée de vie strictement supérieure à 1000 heures?
- Quelle est la probabilité que la puce soit éliminée ou ait une durée de vie courte à la sortie de la chaine de fabrication ?
Dans la suite de l'exercice on s'intéresse seulement aux puces livrées aux clients.
- On appelle la variable aléatoire correspondant à la durée de
vie en heures d'une telle puce.
On suppose que suit une loi exponentielle de paramètre .- Montrer que .
- Calculer la probabilité qu'une puce ait une durée de vie supérieure à 10000 heures. On arrondira le résultat à près.
- Calculer . On arrondira le résultat à près. Interpréter ce résultat.
- Les ingénieurs de l'entreprise ont mis au point un nouveau
procédé de fabrication.
On suppose qu'avec ce nouveau procédé la probabilité qu'une puce
livrée donnée ait une durée de vie courte est égale à .
On prélève au hasard 15000 puces prêtes à être livrées- On admettra
que ce prélèvement de 15000 puces revient à effectuer un tirage avec
remise de 15000 puces parmi l'ensemble de toutes les puces
électroniques produites par l'entreprise et prêtes à être livrées.
On appelle la variable aléatoire égale au nombre de puces ayant
une vie courte dans cet échantillon.
- Justifier que suit une loi binomiale de paramètres et .
- Calculer l'espérance de la variable aléatoire .
- Calculer, à près, la probabilité .
Correction exercice
-
On peut représenter la situation par un arbre:
- des puces livrées ont une durée de vie courte, c'est-à-dire .
- On déduit que et
. - Comme seules les puces livrées peuvent avoir une durée de vie
courte on a:
.
-
- On sait que .
suit une loi exponentielle de paramètre , donc :
Ainsi, . - . Donc environ des puces ont une durée de vie supérieure ou égale à 10 000 heures.
- . Soit environ des puces ont une durée de vie comprise entre et heures.
- On sait que .
-
- On effectue 15000 tirages indépendants les uns des autres. La probabilité qu'une puce livrée ait une vie courte est . suit donc une loi binomiale de paramètres et .
- .
Il y a environ 45 puces à durée de vie courte sur les 15000 extraites de la production. - On a .
La calculatrice donne
et , donc :
.
Cacher la correction
Voir aussi: