Exercice corrigé type bac - Etudes de fonctions avec une exponentielle
Etude complète d'une fonction avec exponentielle
Exercice corrigé de mathématiques: Exercice corrigé type Bac: Etudes de fonctions avec une exponentielle
Exercice - énoncé:
On considère la fonction
définie sur
par
.
On note
sa courbe représentative dans le plan rapporté à
un repère.
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- Soit
la fonction définie sur
par:
.
- Etudier les variations de la fonction
sur
. En déduire le signe de
.
- Montrer que, pour tout réel
,
est strictement positif.
- Etudier les variations de la fonction
-
- Calculer les limites de la fonction
en
et
.
- Interpréter graphiquement les résultats précédents.
- Calculer les limites de la fonction
-
- Calculer
,
désignant la fonction dérivée de
.
- Etudier le sens de variation de
puis dresser son tableau de variation.
- Déterminer une équation de la tangente
à la courbe
au point d'abscisse
.
- Calculer
Correction exercice
-
-
est la somme de la fonction exponentielle et d'une fonction affine, dérivables sur
, donc
est dérivable sur
avec,
On déduit du tableau de variation que, pour tout,
.
- D'après ce qui précède, pour tout
,
, et donc, pour tout
,
.
-
- a), b)
En
:
, or
, donc,
,
et,, donc,
: la droite
est asymptote à
en
.
En:
; on factorise donc par
dans
:
,
, d'où,
: la droite d'équation
est asymptote à
en
.
-
-
est le quotient des fonctions
et
dérivables sur
, et dont le dénominateur
ne s'annule pas sur
, d'après la question b).
est donc dérivable sur
, avec:
-
a pour équation:
, avec
et
, d'où l'équation,
.
-
-
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Voir aussi: