Exercice corrigé sur les suites - Bac Liban, mai 2013
Suite récurrente - Algorithme et limite
Exercice corrigé de mathématiques: Exercice corrigé - Bac Liban, mai 2013: suite récurrente - Algorithme et convergence d'une suite
Exercice - énoncé:
(Bac S, 28 mai 2013, Liban, 4 points)
On considère la suite numérique
définie pour tout
entier naturel
par
Partie A
Partie B Recherche de la limite de la suite
On considère la suite
définie pour tout
entier
naturel par
Partie A
Partie B
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On considère la suite numérique



Partie A
- On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel
donné, tous les termes de la suite, du rang
au rang
. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
- Pour
on obtient l'affichage suivant :
Pour, les derniers termes affichés sont :
?
-
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
,
.
- Démontrer que, pour tout entier naturel
,
. La suite
est-elle monotone ?
- Démontrer que la suite
est convergente.
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
Partie B Recherche de la limite de la suite

On considère la suite



- Démontrer que
est une suite arithmétique de raison
- En déduire l'expression de
, puis celle de
en fonction de
.
- Déterminer la limite de la suite
.
Correction exercice
Partie A
- L'algorithme n
1 calcule bien tous les termes de
à
mais n'affiche par contre que le dernier
.
Dans l'algorithme n2, à chaque boucle la valeur de
est remise à
. cet algorithme calcule donc
fois de suite
à partir de
et ne calcule antre autre pas les termes de
à
.
L'algorithme n3 calcule tous les termes de
à
et les affiche bien successivement (l'affichage se fait dans la boucle, après chaque calcul de
).
3 est donc l'algorithme qui convient.
- D'après les tables de valeurs de la suite
la suite
semble croissante et converger vers un nombre proche de
.
-
- Montrons par récurrence
que, pour tout entier
,
.
, on a bien
car
; ainsi la propriété est vraie au rang
.
, on ait
.
On a alors, puis
, car la fonction inverse est décroissante sur
.
Ainsi, en multipliant par,  
.
On a donc alors, et la propriété est donc encore vraie au rang
.
est vraie pour tout entier naturel
.
- Pour tout entier
,
.
,
, ainsi
donc
(en particulier
), et
, d'où
.
Ainsi la suiteest strictement croissante.
- Comme la suite est croissante et majorée par 3, elle
converge donc vers une limite
inférieure ou égale à 3.
- Montrons par récurrence
que, pour tout entier
Partie B
-
ainsi la suiteest arithmétique de raison
.
- On en déduit que, pour tout entier
,
, avec
, et donc,
.
De plus, et on a donc,
.
- Comme
, on a donc
.
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Voir aussi: