Exercice corrigé bac S juin 2015- Nombres complexes
Nombres complexes: un exercice complet et classique
Exercice corrigé de mathématiques: Exercice corrigé Bac S, métropole juin 2015: Nombres complexes: module, argument, affixe...
Exercice - énoncé:
- Résoudre dans l'ensemble
des nombres complexes l'équation (E) d'inconnue
:
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct.
- On considère les points
,
et
d'affixes respectives
,
et
.
- Calculer le module et un argument du nombre
.
- Donner la forme exponentielle des nombres
et
.
- Montrer que les points
,
et
sont sur un même cercle de centre
dont on déterminera le rayon.
- Placer les points A, B et C dans le repère
.
Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question 2. d. complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.
- Calculer le module et un argument du nombre
- On considère les points
,
et
d'affixes respectives
,
et
.
- Montrer que
.
- Calculer le module et un argument du nombre
.
Pour la suite on admet queet
.
- Montrer que
- On admet que si
et
sont deux points du plan d'affixes respectives
et
alors le milieu
du segment
a pour affixe
et la longueur
est égale à
.
- On note
,
et
les affixes des milieux respectifs
,
et
des segments
,
et
. Calculer
et
. On admet que
.
- Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ? Justifier ce résultat.
- On note
Correction exercice
- L'équation du second degré
a pour discriminant
est admet donc deux solutions complexes conjuguées:
et
.
-
-
. On en déduit
. Un argument de
est donc
.
- On a trouvé
et
.
-
;
et
. Les points
,
et
sont donc sur le cercle de centre
et de rayon 8.
- Voir figure en fin d'exercice.
-
-
-
.
-
. Donc
, et
.
-
-
-
, et
.
-
semble être un triangle équilatéral.
On calcule:,
et
donc le triangle
est bien équilatéral.
-

\rput[bl](4.169401790290362,7.161121938954711){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,-6.928203230275509)
\rput[bl](4.169401790290362,-6.701250295749133){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,8.)
\rput[bl](0.14612708998838755,8.236650819233457){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](0.14612708998838755,0.22993582160278905){\blue{$O=R$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-4.,6.92820323027551)
\rput[bl](-3.8373132073402996,7.161121938954711){\blue{$A'$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8.,0.)
\rput[bl](8.15284208761905,0.22993582160278905){\blue{$B'$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-6.928203230275509,4.)
\rput[bl](-6.785059027363528,4.253210521904767){\blue{$C'$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,0.)
%\rput[bl](0.14612708998838755,0.22993582160278905){\darkgray{$R$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](4.,4.)
\rput[bl](4.169401790290362,4.253210521904767){\darkgray{$S$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-1.4641016151377544,5.464101615137755)
\rput[bl](-1.28791141704994,5.6872490289430955){\darkgray{$T$}}
%\psgrid[subgriddiv=1](-9.,-9.)(9.,9.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-9.,-9.)(9.5,9.5)
\pspolygon[linecolor=red,fillcolor=cyan!40,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,0.)(4.,4.)(-1.4641016151377544,5.464101615137755)
\end{pspicture*}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapComplexes/ex2015-Metropole-juin_c/30.png)
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Voir aussi: