Exercice Bac STI2D & STL - 16 juin 2017

Suites et algorithme

Exercice corrigé du bac STI2D / STL - Métropole 16 juin 2017 - suite arithmétique, algorithmique et suite géométrique


La climatisation d'un véhicule automobile est un système de qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0,1$ gramme de gaz chaque jour.
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $660$ grammes.

Partie A. Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?

Partie B. Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0,1$ gramme, le système perd 1%. de sa masse chaque jour.
Le garagiste recharge alors complétement le réservoir.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
On a donc, $u_0=660$ et on admet que pour tout entier naturel $n$, on a:
\[u_{n+1} = 0,99u_n -0,1.\]


  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  2. Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant dans le système.
    \[\psset{unit=1cm}\begin{tabular}{|p{7cm}|}\hline \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-.15,0)(7.2,0)(7.2,.35)(-.15,.35) {\textbf{Variables}}\\ $N$: un nombre entier naturel \\ $k$: un nombre entier naturel \\ $u$: un nombre entier r\'eel\\ \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-.15,0)(7.2,0)(7.2,.35)(-.15,.35) \textbf{Entr\'ee} \\ Saisir $N$ \\ \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-.15,0)(7.2,0)(7.2,.35)(-.15,.35) \textbf{Initialisation}\\ $u$ prend la valeur $660$\\ \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-.15,0)(7.2,0)(7.2,.35)(-.15,.35) \textbf{Traitement}\\ Pour $k$ de $1$ jusqu'\`a\ldots\\ \quad$u$ prend la valeur \ldots\\ Fin de la boucle Pour\\ \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-.15,0)(7.2,0)(7.2,.35)(-.15,.35) \textbf{Sortie}\\ Afficher u\\ \hline \end{tabular}\]


    1. Recopier et compléter la partie relative au Traitement de cet algorithme.
    2. Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de 20 jours ? Arrondir au gramme près.
  3. Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n +10$.
    1. Calculer $v_0$.
    2. On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,99. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 670 \times 0,99^n -10$.
    4. À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la question 2.b.
  4. On rapelle que le constructeur préconise de recharger le réservoir au plus tard lorsque la masse de gaz est inférieure à 440g.
    Le coüt d'une recharge est de 80 euros. Le garagiste propose de réparer le système pour 400 euros. Pourquoi est-il plus économique pour cet automobiliste de réparer le système ? Justifier la réponse.

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