Exercice corrigé - Deux Suites imbriquées
Exercice corrigé sur les suites
Première générale et scientifique
Exercice corrigé de mathématiques: Exercice corrigé sur les suites: deux suites imbriquées définies par récurrence. Utilisation de suites intermédiaires, géométrique et constante, et détermination des expressions explicites, en fonction de n
Exercice - énoncé:
On considère les suites et définies
par leur premier terme et et, pour tout entier ,
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- Calculer et .
- On pose, pout tout entier , .
- Calculer et .
- Montrer que la suite est géométrique.
Préciser sa raison et son premier terme.
Donner alors l'expression explicite de en fonction de .
- On pose, pour tout entier ,
.
- Calculer et .
- Montrer que la suite est constante.
- Exprimer alors, explicitement en fonction de , les termes et .
- Quelles sont les limites de ces deux suites ?
Correction exercice
-
- On pose, pout tout entier , .
- et
- Pour tout entier on a,
ce qui montre que cette suite est géométrique de raison et de premier terme .
On a alors directement, pour tout entier .
-
- et .
- Pour tout entier , on a
ce qui montre que la suite est constante, égale à .
- D'après ce ui précède, on a montré que
On peut résoudre ce système dont les inconnues sont et .
Par substitution par exemple, la première relation donne , puis, dans la deuxième relation,
puis, en reprenant la première relation,
- Comme , on a
, et alors
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Voir aussi: