Exercice corrigé - Produit scalaire - Equations et intersections de cercles et tangentes
Equations et intersections de cercles et tangentes
Première générale et scientifique
Exercice corrigé de mathématiques: Exercice corrigé - Produit scalaire - Equations et intersections de deux cercles et tangentes
Exercice - énoncé:
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
est le cercle d'équation:
.
Cacher la correction
est le point de coordonnées .
- a)
- Déterminer les coordonnées du centre du cercle et son rayon.
- b)
- Tracer le cercle et placer le point sur la figure.
- On mène, à partir du point
, les deux tangentes au cercle
et on note
et
les points de contact de ces
tangentes avec
.
- a)
- Démontrer que et appartiennent au cercle de diamètre .
- b)
- Déterminer une équation du cercle .
- c)
- Calculer les coordonnées des points et .
Correction exercice
- a)
-
.
Le cercle a donc pour centre et rayon .
- b)
-
- a)
- La droite
est tangente au cercle
, et on
a donc,
.
Ainsi, le triangle est rectangle en , et est donc sur le cercle de diamètre l'hypoténuse .
De la même façon, est sur le cercle de diamètre . - b)
- Le cercle
, de diamètre
a pour
centre le milieu de
,
soit
.
Le rayon de ce cercle est .
Ainsi, une équation de est ou encore, .
- c)
- On cherche
En soustrayant ces deux équations, on obtient: , puis, en substituant dans une des deux équations de cercle (dans celle de par exemple ici):
.
Cette équation du second degré a pour discriminant , et admet donc deux racines: et .
Les abscisses correspondantes sont: et .
Les points d'intersections sont donc et .
Cacher la correction
Voir aussi: