Etude de fonction

Etude à l'aide d'une fonction auxiliaire

Exercice corrigé - Etudes de fonctions, à l'aide d'une fonction auxiliaire et du théorème des valeurs intermédiaires


Partie A. Soit $ g$ la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ par $ g(x)=x^3+x^2+6$ .

  1. Etudier le sens de variation de $ g$ .
  2. En déduire que l'équation $ g(x)=0$ admet une seule solution sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ et que cette solution, notée $ a$ , est comprise entre $ -3$ et $ -2$ .
  3. Etudier le signe de $ g(x)$ pour $ x\in{\rm I\kern-.1567em R}$ .


Partie B. Soit $ f$ la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{0\right\}$ par $ f(x)=x-1+\dfrac{x^2-3x+2}{x^3}$ .

Montrer que pour tout réel non nul $ x$ , $ f'(x)=\dfrac{(x-1)g(x)}{x^4}$ , et en déduire les variations de $ f$ .


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