Exercice corrigé - Etude d'une fonction à l'aide d'une fonction auxiliaire
Etude à l'aide d'une fonction auxiliaire
Première générale et scientifique
Exercice corrigé de mathématiques: Exercice corrigé - Etudes de fonctions, à l'aide d'une fonction auxiliaire et du théorème des valeurs intermédiaires
Exercice - énoncé:
Partie A.
Soit
la fonction définie sur
par
.
- Etudier le sens de variation de
.
- En déduire que l'équation
admet une seule solution sur
et que cette solution, notée
, est comprise entre
et
.
- Etudier le signe de
pour
.
Partie B.
Soit
la fonction définie sur
par
.
Montrer que pour tout réel non nul
,
, et en déduire les variations de
.
Correction exercice
Partie A.
Soit
la fonction définie sur
par
.
- Pour tout
réel,
.
est dérivable sur
, et est strictement croissante. On a de plus,
et
. On en déduit donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation
admet une unique solution sur
.
De plus, d'après le tableau de variation de
, pour
, on a
et pour tout
,
. Ainsi, il n'y a pas d'autre solution à l'équation
en dehors de l'intervalle
, et l'équation
admet donc une unique solution sur
qui est comprise entre
et
.
- D'après ce qui précède, on a:
Partie B.
Soit
la fonction définie sur
par
.

Or,

ce qui montre que l'on a bien
.
A l'aide de la partie A, on en déduit alors:
![$\displaystyle \begin{tabular}[t]{\vert c\vert ccccccccc\vert}\hline
$x$& $-\inf...
...Large {$\searrow$}&&\Large {$\nearrow$}& \\
&&&&&&&0&& \\ \hline
\end{tabular}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap3/ex10_c_img25.png)
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Voir aussi: