Logarithme décimal

Propriétés principales et exercices corrigés



Logarithme décimal: définition et premières propriétés

Définition de la fonction logarithme décimal
La fonction logarithme décimal, notée log, est définie sur ]0;+∞ par
log(x) = ln(x)/ln(10)
ln désigne la fonction .

D'après les propriétés du logarithme népérien, on obtient directement les premières propriétés suivantes du logarithme décimal:
Premières propriétés du logarithme décimal:
  • log(1) = 0, log(10) = 1
  • Comme log(x) = 1/ln(10)×ln(x) on a log'(x) = 1/ln(10)×ln'(x) = 1/ln(10)× 1/x
  • Pour tous réels a>0 et b>0, on a log(ab) = log(a) + log(b)
  • Pour tout réel a>0 et tout entier n, log(an) = n log(a)
    En particulier pour a=10, on a log(10n) = nlog(10) = n
  • n = log(a) ⇔ a = 10n:
    Le logarithme décimal est la fonction réciproque de la fonction puissance de 10: x ↦ 10x
    log(x) = yx = 10y

Courbe représentative du logarithme décimal

Courbe du logarithme décimal:
Comme les fonctions fonctions x ↦ 10x et logarithme décimal sont réciproques l'une de l'autre, leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

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Exercices: échelle de Richter pour les séismes et ph d'une solution


Exercice: Échelle de Richter
La magnitude d'un séisme, sur l'échelle de Richter, est évaluée à partir de l'amplitude A des ondes sismiques enregistrées sur un sismographe par la formule
M = log(A) − log(A0)
A0 désigne l'amplitude d'un séisme de référence.
  1. On a mesuré l'amplitude d'un séisme et on a obtenu A = 3, 98 ×107 A0.
    Calculer la magnitude de ce séisme sur l'échelle de Richter.
  2. La magnitude d'un séisme est 5. Déterminer le rapport A/A0 de son amplitude à l'amplitude de référence.
  3. À quelle variation d'amplitude correspond une variation de magnitude de 1 sur l'échelle de Richter ?
  1. On remarque tout d'abord que, d'après les propriétés algébriques des fonctions logarithmes (décimal et népérien, qui sont les mêmes)
    M = log(A) − log(A0) = logA/A0
    Ainsi, la magnitude de ce séisme sur l'échelle de Richter lorsque A = 3, 98 ×107 A0 A/A0 = 3, 98 ×107 est
    M = log(3,98 ×107) ≃ 7,6
  2. Lorsque la magnitude d'un séisme est de 5, le rapport vaut
    M = 5 = logA/A0A/A0 = 105
  3. Pour une certaine amplitude A de magnitude M, l'amplitude A' pour une magnitude M+1 vérifie
    M+1 = logA/A0 +1 = logA'/A0
    Comme 1=log(10), et log(a)+log(b) = log(ab), on a aussi
    log10A/A0 = logA'/A0
    d'où finalement A' = 10A: l'amplitude est multipliée par 10 lorsqu'on ajoute une unité sur l'échelle de Richter.


Exercice: pH d'une solution
La molarité en ions H+ d'une solution est le nombre, noté [H+] de moles par litre d'ions H+.
[H+] s'exprime généralement par un nombre comportant une puissance négative de 10 (10−5 mol.L−1 par exemple).
On lui préfère donc le pH défini par pH = − log([H+]).
  1. Quel est le pH d'une solution contenant 3.10−7 moles d"ions H+ par litre ?
  2. Quelle est la molarité en ions H+ d'une solution neutre (pH = 7) ?
  1. Le pH de cette solution est pH = −log(3.10−7) ≃ −6,5
  2. La molarité en ions H+ d'une solution neutre est 10−7.



Voir aussi:
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