Fonction exponentielle

Propriétés principales et quelques exercices corrigés

Fonction exponentielle

Définition

Définition de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est l'unique fonction f telle que f' = f et f (0) = 1.

On a donc exp'(x) = exp(x) et exp(0) = 1.

Courbe représentative

Signe et variations

Propriété: positivité de l'exponentielle

Pour tout réel x, on a e^x > 0

Comme de plus l'exponentielle est égale à sa dérivée, on en déduit que sa dérivée est donc aussi positive, et donc:

Propriété: stricte croissance l'exponentielle

La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

Équations et inéquations

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R, on en déduit aussi en particulier que

Propriété: équations et inéquations

e^x = e^y ⇔ x = y
e^x ≤ e^y ⇔ x ≤ y

Exercice

Résoudre:

e^x = 1

Comme e⁰ = 1 , l'équation est équivalente à e^x = e⁰ ⇔ x = 0
e^x+2 = e^−x−4

On applique directement la propriété précédente: e^x+2 = e^−x−4 ⇔ x+2 = −x−4 ⇔ x = −3
e^x > 1

Comme e⁰ = 1 , et que l'exponentielle est strictement croissante, l'inéquation est équivalente à e^x > e⁰ ⇔ x > 0
e^x+2 ≤ e^−x−4

On applique directement la propriété précédente: comme l'exponentielle est strictement croissante, e^x+2 ≤ e^−x−4 ⇔ x+2≤−x−4 ⇔ x≤−3

Propriétés algébriques

Les règles de calculs algébriques sont les mêmes que pour les puissances, d'où la notation d'ailleurs, exp(x) = e^x.

Propriétés

Pour tous nombres réels x et y,

e^xe^y = e^x+y
e^−x = 1e^x
e^xe^y = e^{x − y}
(e^x)^y = e^xy

De plus, on a, e⁰ = 1 et e¹ = e ≃ 2,718…

Exercice

Compléter:

e^xe^y = …

… = e^x+y
e^xe^y = …

… = e^x−y
(e^x)³ = …

… = e^3x

Exercice

Compléter les factorisations:

e^2x − e^x = e^x ( … )

… = e^x ( e^x − 1 )
e^x+3 + e^x = e³ ( … )

… = e³ ( e^x + 1 )
e^3x+4 + e^x = e^2x+2 ( … )

… = e^2x+2 ( e^x+2 + e^−x−2 )

Limites en l'infini

Limites en l'infini de la fonction exponentielle

Comme l'illustre la courbe représentative de la fonction exponentielle, on a les limites:

Limites en l'infini de l'exponentielle

lim_x−∞ e^x = 0 et lim_x+∞ e^x = +∞

Exercices

Voir les exercices de calcul de limites avec une exponentielle.

Pour lever certaines formes indéterminées, le théorème suivant est incontournable face à des fonctions mêlant des exponentielles et des polynômes:

Croissances comparées de l'exponentielle et des polynômes

Théorème: croissances comparées en l'infini de l'exponentielle et des polynômes

On a les limites lim_x+∞ e^xx = +∞ et lim_x−∞ xe^x = 0
Plus généralement, pour tout entier naturel n, on a les limites lim_x+∞ e^xxⁿ = +∞ et lim_x−∞ xⁿe^x = 0

Exercices

Voir les exercices de calcul de limites avec une exponentielle et croissances comparées.

Fonction réciproque: logarithme népérien

La fonction exponentielle est strictement croissante de R sur ]0;+∞[, elle réalise donc une bijection de R sur ]0;+∞[ (voir théorème des valeurs intermédiaires ou de la bijection).

Ainsi, pour tout y ∈ ]0;+∞[, il existe un unique x ∈ R tel que e^x = y. Cet unique nombre x est le logarithme népérien de y, noté x = ln(y)
En résumé, pour tout nombre réel x et tout nombre réel y>0, on a

e^x = y ⇔ x = ln(y)

Cette fonction se trouve maintenant sur toutes les calculatrices (scientifiques), et a de nombreuses propriétés comme la fonction exponentielle.

Exercice

Résoudre:

e^x = 1

e^x = 1 ⇔ x = ln(1) = 0 et on retrouve bien sûr le résultat de l'exercice précédent.
e^x = 2

e^x = 2 ⇔ x = ln(2) ≃ 0.693…
e^x−3 = 5

e^x−3 = 5 ⇔ x−3 = ln(5) ⇔ x = 3 + ln(5) ≃ 4.609

Voir aussi: