Primitives

Rappel sur les dérivées


Il faut être au point sur le calcul de dérivée d'une fontion, par exemple,

Primitive d'une fonction

Définition
On appelle primitive d'une fonction f sur un intervalle I, toute fonction F dont la dérivée sur I est f.
En d'autres termes,
F primitive de f ⇔ F' = f



Exemples:
  1. F (x) = x3 est une primitive de f (x) = 3x2, car F'(x) = 3x2 = f (x).

  2. Une primitive de f (x) = 6x est F(x) = 3x2 car, on a bien F'(x) = 3×2x = 6x = f (x) $F'(x)=3\tm2x=6x=f(x)$.

    Les fonctions définies par F(x) = 3x2 +12 et F(x) = 3x2 −25 sont aussi des primitives de f car la dérivée d'une constante ajoutée est nulle.

  3. Une primtive de la fonction f (x) = 2x −5 est F(x) = x2 −5x.

  4. On cherche une primitive de g(x) = 6x2.
    On sait qu'on obtient la partie "x2" en dérivant x3.
    Plus précisément, la dérivée de x3 est 3x2.
    Pour obtenir g(x) = 6x2, il reste donc à multiplier par 2.
    Ainsi, G(x) = 2x3 est une primitive de g,
    car on a alors bien, en dérivant, G'(x) = 2×3x2 = g(x).
  5. Soit h(x) = 2x2, alors comme la dérivée de 2x est −1x2 on voit qu'il suffit cette fois de multiplier par −2, soit
    H(x) = −2×1x
    alors
    H'(x) = −2×−1x2 = h(x)


Méthode générale:
On recherche une primitive d'une fonction donnée en cherchant dans les tableaux des dérivées des fonctions usuelles et opérations sur les dérivées.
Ensuite, on modifie éventuellement la primitive proposée en multipliant par une constante.
Enfin, on calcule la dérivée de la fonction proposée comme primitive pour vérifier qu'on obtient bien la fonction de départ.


Exemple:
Soit f (x) = 5x3.
On obtient x3 en dérivant x4.
Plus précisémenent, la dérivée de x4 est 4x3 et donc, pour obtenir finalement f (x), il suffit de diviser par 4 et multiplier par 5, soit
F(x) = 54x4
En dérivant, on obtient bien:
F'(x) = 54×4x3 = f (x)
et F est ainsi bien une primitive de f.


Théorème
Si F est une primitive de la fonction f, alors toutes les primitives de f s'écrivent sous la forme F + k, où k est une constante réelle quelconque.


Exemple:
F(x) = 3x2 + 1x est une primitive de f (x) = 6x − 1x2 .
Une autre primitive est
G(x) = 3x2 + 1x + 3
tout comme
H(x) = 3x2 + 1x − 12,5

Toutes les primitives de f sont données par
F(x) = 3x2 + 1x + k
pour k une constante réelle quelconque.


Primitives des fonctions usuelles

Primitives de polynômes


Propriété
Une primitive de la fonction f définie par f (x) = xn est
F(x) = 1n + 1xn+1



Exemples:
  • Pour n = 0 une primitive de f (x) = x0 = 1 est F(x) = 10+1x0+1 = x
  • Pour n = 1 une primitive de f (x) = x1 = x est F(x) = 12x2
  • Pour n = 2 une primitive de f (x) = x2 est F(x) = 13x3
  • Pour n = 3 une primitive de f (x) = x3 est F(x) = 14x4
  • …

Pour trouver une primitive d'un polynôme, on applique la propriété précédente à chacun des termes, par exemple, pour le polynôme
f (x) = x5 + x3 + x
on a les primitives
F (x) = 16x6 + 14x4 + 12x2 + k
pour tout constante réelle k.


Exercice 1
Déterminer les primitives des polynômes suivants:
a) f (x) = x8 + x2
F(x) = 19x9 + 13x3 + k


b) f (x) = 3x2 + 5x + 1
F(x) = x3 + 52x2 + x + k


c) f (x) = x9 − 3x2 + 2
F(x) = 110x10 − x3 + 2x + k


d) f (x) = −5x5 + 3
F(x) = −56x6 + 3x + k


e) f (x) = x43 − 12x2 + 32
F (x) = 115x5 − 4x3 + 32x + k


f) f (x) = −43x3 + 6x
F (x) = −13x4 + 3x2 + k


Autres fonctions


Exercice 2
Déterminer dans chaque cas les primitives des fonctions suivantes:
a) f (x) = 15x2 −13x + 2
F(x) = 5x3 −16x2 + 2x + k


b) f (x) = −3x +14x3
F(x) = −32x2 + 116x4 + k


c) f (x) = 1x2 + 3x
Comme −1x2 est la dérivée de 1x, on a F(x) = −1x + 32x2 + k


d) f (x) = −23x + 3x2
En écrivant 3x2 = 3×1x2 , et en utilisant le fait que −1x est une primitive de 1x2 , on a
F(x) = −13x2 − 3x + k


e) f (x) = −1(x − 2)2
f = −u'u2 est la dérivée de 1u avec u(x) = x − 2 et donc
F(x) = 1x − 2 + k


f) f (x) = 3(2x−3)2
De même qu'à la question précédente, on utilise la formule de dérivée de 1u avec u(x) = 2x − 3 et alors u'(x) = 2, et il reste à multiplier par −32 pour obtenir exactement f, soit
F(x) = −32× 12x − 3 + k


g) f (x) = 5(−2x+1)2 + 3
De même que pour la fonction précédente,
F(x) = 52× 1−2x + 1 + 3x + k


h) f (x) = 2x(x2 + 3)
On peut soit développer, f (x) = 2x3 + 6x qui est alors un polynôme, soit remarquer que f est sous la forme u'u avec u(x) = x2 + 3, et donc une primitve est de la forme u2, soit plus exactement ici
F(x) = 12 (x2 + 3)2 + k


i) f (x) = (x + 2)3
De même ici, avec u(x) = x + 2 et en considérant la dérivée de u4, on trouve que
F(x) = 14(x + 2)4 + k


j) f (x) = (3x − 2)4
De même ici, avec u(x) = 3x − 2 donc u'(x) = 3 et en considérant la dérivée de u5, on trouve que
F(x) = 115(3x − 2)5 + k


k) f (x) = x2(x3 + 5)3
En dérivant u4 avec u(x) = x3 + 5 et donc u'(x) = 3x2, on obtient, 4u'u3 = 12x2(x3 + 5)3 et donc, il reste à diviser par ce facteur 12,
F(x) = 112(x3 + 5)4 + k


l) f (x) = cos(x)
F(x) = sin(x) + k


m) f (x) = sin(x)
F(x) = −cos(x) + k


o) f (x) = cos(3x)
Avec u(x) = 3x donc u'(x) = 3 et en dérivant sin(u) on obtient u'cos(u) d'où
F(x) = 13sin(3x) + k


p) f (x) = 1 − cos(2x)
De même que pour la fonction précédente,
F(x) = x −12sin(2x) + k


q) f (x) = cos3x + π2
F (x) = 13sin3x + π2 + k


r) f (x) = −3x + sin12πx
F (x) = −32x2 − 2π cos12πx + k




Unique primitive vérifiant une condition


Toutes les primitives d'une même fonction sont définies à une constante additive près. Imposer de plus une condition sur la primitive permet de déterminer cette constante.


Exemple: Déterminer la primitive F de f (x) = 3x2 + 4x + 1 vérifiant de plus F(1) = 0 .

f est un polynôme, et pour tout constante k, F(x) = x3 + 2x2 + x + k en est une primitive.
Maintenant,
F(1) = 0 ⇔ 13 + 2×12 + 1 + k = 0 ⇔ k = −4
Ainsi, F(x) = x3 + 2x2 + x −4 est l'unique primitive de f telle que F(1) = 0 .


Exercice 3
Dans chaque cas, déterminer la primitive F de f vérifiant la condition donnée:
a) f (x) = −2x + 4 et F(2) = 3
Les primitives de f sont les fonctions de la forme F(x) = −x2 + 4x + k
On sait de plus que F(2) = −22 + 4×2 + k = 3 et donc que k = −1
Ainsi, la primitive recherchée est F(x) = −x2 + 4x −1


b) f (x) = 8x3 − 3x et F(1) = 2
Les primitives sont les fonctions de la forme F(x) = 2x4 −32x2 + k
On sait de plus que F(1) = 2 −32 + k = 2 et donc que k = 32
Ainsi, la primitive recherchée est F(x) = 2x4 −32x2 + 32


c) f (x) = 1(x + 1)2 + 1 et F(0) = 2
Les primitives sont les fonctions de la forme F(x) = −1x + 1 + x + k
On sait de plus que F(0) = −11 + 0 + k = 2 et donc que k = 3
Ainsi, la primitive recherchée est F(x) = −1x + 1 + x + 3


d) f (x) = 2 cos(2x) + 2 et Fπ4 = 1
Les primitives sont les fonctions de la forme F(x) = sin(2x) + 2x + k
On sait de plus que Fπ4 = sin2×π4 + 2×π4 + k = 1 + π2 + k = 1 et donc que k = −π2
Ainsi, la primitive recherchée est F(x) = sin(2x) + 2x −π2




Calculs d'aire et intégrales


Définition
Soit f une fonction positive sur [a ; b] alors l'aire du domaine
\[\mathcal{D}=\left\{ \bgar{ll}\ \\ M(x;y) \text{ tel que } \la\bgar{ll} &0\leqslant x\leqslant 2\\ \text{et}&0\leqslant y\leqslant f(x)\enar \right.\\ \ \enar\ra\]
est l'intégrale de f entre a et b, notée $\dsp\int_a^b f(x)dx$.
\[\begin{pspicture}(-2,-1)(4.8,3.7) \psline{->}(-1.2,0)(3,0)\psline{->}(0,-0.8)(0,3.6)\newcommand{\f}[1]{#1 3 exp 0.5 mul -1 #1 2 exp mul add 2 add} \pscustom{\psplot{-0.6}{2.2}{\f{x}} \gsave \psline(2.2,0)(-.6,0)\fill[fillstyle=vlines]\grestore } \psplot[linewidth=1pt]{-1.}{2.5}{\f{x}}\psline[linestyle=dashed](-0.6,-0.2)(!-0.6 \space \f{-0.6} 0.4 add)\psline[linestyle=dashed](2.2,-0.2)(!2.2 \space \f{2.2} 0.4 add)\put(-1.,-0.4){$a$}\put(3.2,-0.4){$b$}\put(3.9,3.5){$\mathcal{C}_f$}\end{pspicture}\]




Propriété
Soit f une fonction positive sur [a ; b] et F une primitive de f, alors on a
\[\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\]


Exemple Soit f (x) = x2. L'aire du domaine hachuré ci-dessous est donc
\[A=\int_a^b f(x)dx=F(2)-F(0)\]


\[\begin{pspicture}(-1.2,-.6)(4.8,4.8) \psline{->}(-1.2,0)(3,0)\psline{->}(0,-0.6)(0,4.8)\newcommand{\f}[1]{#1 2 exp} \pscustom{\psplot{0}{2}{\f{x}} \gsave \psline(2,0)(0,0)\fill[fillstyle=vlines]\grestore } \psplot[linewidth=1pt]{-.8}{2.2}{\f{x}}\psline[linestyle=dashed](2,-0.1)(!2 \space \f{2} 0.4 add)\rput(-.1,-0.3){0}\rput(2,-0.3){$2$}\put(2.3,3.5){$\mathcal{C}_f$}\end{pspicture}\]

Ici une primitive de f est donnée par F(x) =13x3 et alors F(2) = 83 et F(0) = 0
L'aire est donc A = 83


Exercice 4
Calculer l'aire du domaine hachuré ci-dessous, où la courbe est celle de la fonction définie par f (x) = 0,5x + 1.
\[\begin{pspicture}(-4.5,-.5)(4.5,2.2) \psline{->}(-4.5,0)(4.5,0)\psline{->}(0,-0.5)(0,2.5)\newcommand{\f}[1]{#1 0.5 mul 1 add}\pscustom{\psplot{-2}{2}{\f{x}} \gsave \psline(2,0)(-2,0)\fill[fillstyle=vlines]\grestore } \psplot[linewidth=1pt]{-2.9}{2.9}{\f{x}}\rput(-2,-0.3){$-2$}\rput(2,-0.3){$2$}\end{pspicture}\]

Exercice 5
Calculer l'aire du domaine hachuré ci-dessous, où la courbe est celle de la fonction définie par f (x) = cos(x) + 1.
\[\begin{pspicture}(-4.5,-.5)(4.5,2.2) \psline{->}(-4.5,0)(4.5,0)\psline{->}(0,-0.5)(0,2.5) \newcommand{\f}[1]{#1 180 mul 3.1415 div cos 1 add} \pscustom{\psplot{-3.14}{3.14}{\f{x}} \gsave \psline(3.14,0)(-3.14,0)\fill[fillstyle=vlines]\grestore } \psplot[linewidth=1pt]{-4.4}{4.4}{\f{x}}\rput(-3.14,-0.3){$-\pi$}\rput(3.14,-0.3){$\pi$}\end{pspicture}\]


Exercice 6
Dans un repère orthonormé, on considère le domaine $\mathcal{D}$ compris entre les courbes d'équations y = x et y = x2.


Déterminer l'aire du domaine $\mathcal{D}$.
\begin{pspicture}(-.15,-.15)(1.15,1.25) \nwc\f[1]{#1 0.5 exp}\nwc\g[1]{#1 #1 mul} \pscustom{\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\f{x}}\gsave \psline(1,0)(0,0)\fill[fillstyle=solid,fillcolor=gray]\grestore} \pscustom{\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\g{x}}\gsave \psline(1,0)(0,0)\fill[fillstyle=solid,fillcolor=white]\grestore} \psline{->}(-0.1,0)(1.25,0)\psline{->}(0,-0.1)(0,1.15)\psline[linestyle=dashed](0,1)(1,1)(1,0) \rput(1,-0.08){$1$}\rput(-0.08,1){$1$} \end{pspicture}\]
Indication: on pourra se rappeler que x = x1/2, donc de la forme xn, afin de chercher une primitive.

Exercice 7
Calculer l'aire du domaine, hachuré sur la figure ci-dessous, délimité par les courbes représentatives des fonctions f et g définies par f (x) = x3 + 4 et g(x) = 3x2.
\[\begin{pspicture}(-1.5,-1)(2.5,13) \psline{->}(-1.5,0)(2.5,0)\psline{->}(0,-.5)(0,12.5)\newcommand{\f}[1]{#1 3 exp 4 add}\newcommand{\g}[1]{x 2 exp 3 mul} \psplot{-1.3}{2.1}{\f{x}}\psplot{-1.3}{2.1}{\g{x}} \pscustom{\psplot{-1}{2}{\f{x}}\gsave \psplot{2}{-1}{\g{x}}\fill[fillstyle=vlines]\grestore} \psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)\rput(-1,-.8){$-1$}\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,12)\rput(2,-.8){$2$}\end{pspicture}\]



Calcul intégral

Paragraphe suivant:

Voir aussi:
LongPage: h2: 5 - h3: 3