Calcul intégral
Primitives
Chapitre précédent et prérequis: primitives, et calculs de primitives (exercices corrigés).Calcul d'intégrales
Rappel de la propriété fondamentale, précisant le lien entre intégrale (et donc calcul d'aire) et primitive:
Théorème
Soit ![$f$](Cours-IMG/1.png)
![$I$](Cours-IMG/2.png)
![$a\in I$](Cours-IMG/3.png)
Alors la fonction
![$F$](Cours-IMG/4.png)
![$I$](Cours-IMG/5.png)
![\[F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\]](Cours-IMG/6.png)
![$f$](Cours-IMG/1.png)
![$I$](Cours-IMG/8.png)
![$a$](Cours-IMG/9.png)
Exercice 1
Soit ![$F$](Cours-IMG/4.png)
![\[F(x)=\int_0^x \dfrac{1}{1+t^2}\,dt\]](Cours-IMG/11.png)
![$F$](Cours-IMG/4.png)
Une conséquence directe de ce théorème est la formule fondamentale pour le calcul d'intégrales:
Corollaire
Soit ![$f$](Cours-IMG/1.png)
![$[a;b]$](Cours-IMG/21.png)
![$F$](Cours-IMG/4.png)
![$f$](Cours-IMG/1.png)
![\[\bgar{ll}
\dsp\int_a^bf(x)\,dx
&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_a^b\\[1em]
&=F(b)-F(a)\enar\]](Cours-IMG/24.png)
Exercice 2
Calculer les intégrales suivantes:
a)
![$\dsp I_1=\int_0^1x^2\,dx$](Cours-IMG/25.png)
Une primitive de
est
et on a donc
![$f:x\mapsto x^2$](Cours-IMG/26.png)
![$F:x\mapsto\dfrac13x^3$](Cours-IMG/27.png)
![\[\bgar{ll}I_1&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1
=F(1)-F(0)\\[1em]
&=\dfrac13\tm1^3-\dfrac13\tm0^3\\[1em]
&=\dfrac13\enar\]](Cours-IMG/28.png)
b)
![$\dsp I_2=\int_{-1}^3(5-2x)\,dx$](Cours-IMG/29.png)
Une primitive de
est
et on a donc
![\[\bgar{ll}I_2&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{-1}^3
=F(3)-F(-1)\\[1em]
&=\Bigl(5\tm3-3^2\Bigr)-\Bigl(5\tm(-1)-(-1)^2\Bigr)\\[1em]
&=12\enar\]](Cours-IMG/32.png)
![$f:x\mapsto 5-2x$](Cours-IMG/30.png)
![$F:x\mapsto5x-x^2$](Cours-IMG/31.png)
![\[\bgar{ll}I_2&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{-1}^3
=F(3)-F(-1)\\[1em]
&=\Bigl(5\tm3-3^2\Bigr)-\Bigl(5\tm(-1)-(-1)^2\Bigr)\\[1em]
&=12\enar\]](Cours-IMG/32.png)
c)
![$\dsp I_3=\int_0^1e^{-2x}\,dx$](Cours-IMG/33.png)
Une primitive de
est
et on a donc
![\[\bgar{ll}I_3&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1
=F(1)-F(0)\\[1em]
&=\lp-\dfrac12e^{-2}\rp-\lp-\dfrac12e^0\rp\\[1em]
&=\dfrac12\lp1-e^{-2}\rp\enar\]](Cours-IMG/36.png)
![$f:x\mapsto e^{-2x}$](Cours-IMG/34.png)
![$F:x\mapsto-\dfrac12e^{-2x}$](Cours-IMG/35.png)
![\[\bgar{ll}I_3&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1
=F(1)-F(0)\\[1em]
&=\lp-\dfrac12e^{-2}\rp-\lp-\dfrac12e^0\rp\\[1em]
&=\dfrac12\lp1-e^{-2}\rp\enar\]](Cours-IMG/36.png)
d)
![$\dsp I_4=\int_0^1\dfrac{e^x}{e^x+1}\,dx$](Cours-IMG/37.png)
La fonction
est de la forme
avec
,
et
est donc une primitive de
et on a donc
![\[\bgar{ll}I_4&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1
=F(1)-F(0)\\[1em]
&=\ln\lp e^1+1\rp-\ln\lp e^0+1\rp\\[1em]
&=\ln\lp e+1\rp-\ln2\\[1em]
&=\ln\lp\dfrac{e+1}2\rp\enar\]](Cours-IMG/43.png)
![$f:x\mapsto \dfrac{e^x}{e^x+1}$](Cours-IMG/38.png)
![$\dfrac{u'}{u}$](Cours-IMG/39.png)
![$u:x\mapsto e^x+1$](Cours-IMG/40.png)
![$F:x\mapsto\ln(u(x))=\ln\lp e^x+1\rp$](Cours-IMG/41.png)
![$f$](Cours-IMG/1.png)
![\[\bgar{ll}I_4&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1
=F(1)-F(0)\\[1em]
&=\ln\lp e^1+1\rp-\ln\lp e^0+1\rp\\[1em]
&=\ln\lp e+1\rp-\ln2\\[1em]
&=\ln\lp\dfrac{e+1}2\rp\enar\]](Cours-IMG/43.png)
e)
![$\dsp I_5=\int_0^1x^2\lp x^3-1\rp^5\,dx$](Cours-IMG/44.png)
On peut penser à développer l'expression, encore faut-il savoir développer
l'identité remarquable avec une puissance 5 (c'est alors la formule du binôme de Newton).
Plus facilement, la fonction
est de la forme
avec
et
est donc une primtive de
et on a donc
![\[\bgar{ll}I_5&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1
=F(1)-F(0)\\[1em]
&=\dfrac1{18}\lp1^3-1\rp^6-\dfrac1{18}\lp0^3-1\rp^6\\[1em]
&=-\dfrac1{18}\enar\]](Cours-IMG/50.png)
Plus facilement, la fonction
![$x\mapsto x^2\lp x^3-1\rp^5$](Cours-IMG/45.png)
![$u'u^n$](Cours-IMG/46.png)
![$u(x)=x^3-1$](Cours-IMG/47.png)
![$F:x\mapsto\dfrac1{18}\lp x^3-1\rp^6$](Cours-IMG/48.png)
![$f$](Cours-IMG/1.png)
![\[\bgar{ll}I_5&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1
=F(1)-F(0)\\[1em]
&=\dfrac1{18}\lp1^3-1\rp^6-\dfrac1{18}\lp0^3-1\rp^6\\[1em]
&=-\dfrac1{18}\enar\]](Cours-IMG/50.png)
f)
![$\dsp I_6=\int_0^1\frac{x}{(x^2-4)^2}\,dx$](Cours-IMG/51.png)
La fonction
est de la forme
avec
,
et
est donc une primitive de
et on a donc
![\[\bgar{ll}I_6&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1
=F(1)-F(0)\\[1em]
&=-\dfrac12\tm\dfrac1{1^2-4}-\lp-\dfrac12\tm\dfrac1{0^2-4}\rp\\[1em]
&=\dfrac16-\dfrac18=\dfrac1{24}\enar\]](Cours-IMG/57.png)
![$f:x\mapsto \dfrac{x}{\lp x^2-4\rp^2}$](Cours-IMG/52.png)
![$\dfrac{u'}{u^2}$](Cours-IMG/53.png)
![$u(x)=x^2-4$](Cours-IMG/54.png)
![$F:x\mapsto-\dfrac12\tm\dfrac1u=-\dfrac12\tm\dfrac1{x^2-4}$](Cours-IMG/55.png)
![$f$](Cours-IMG/1.png)
![\[\bgar{ll}I_6&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1
=F(1)-F(0)\\[1em]
&=-\dfrac12\tm\dfrac1{1^2-4}-\lp-\dfrac12\tm\dfrac1{0^2-4}\rp\\[1em]
&=\dfrac16-\dfrac18=\dfrac1{24}\enar\]](Cours-IMG/57.png)
g)
![$\dsp I_7=\int_0^{\frac12}\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}$](Cours-IMG/58.png)
La fonction
est de la forme
avec
,
et
est donc une primitive de
et on a donc
![\[\bgar{ll}I_6&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^{1/2}
=F\lp\dfrac12\rp-F(0)\\[1em]
&=-3\sqrt{1-\lp\dfrac12\rp^2}-\lp-3\sqrt{1-0^2}\rp\\[1.2em]
&=-3\sqrt{\dfrac34}+3
=-\dfrac{3\sqrt3}2+3\\[1.2em]
\enar\]](Cours-IMG/64.png)
![$f:x\mapsto\dfrac{3x}{\sqrt{1-x^2}}$](Cours-IMG/59.png)
![$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$](Cours-IMG/60.png)
![$u(x)=1-x^2$](Cours-IMG/61.png)
![$F:x\mapsto-3\sqrt{u}=-3\sqrt{1-x^2}$](Cours-IMG/62.png)
![$f$](Cours-IMG/1.png)
![\[\bgar{ll}I_6&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^{1/2}
=F\lp\dfrac12\rp-F(0)\\[1em]
&=-3\sqrt{1-\lp\dfrac12\rp^2}-\lp-3\sqrt{1-0^2}\rp\\[1.2em]
&=-3\sqrt{\dfrac34}+3
=-\dfrac{3\sqrt3}2+3\\[1.2em]
\enar\]](Cours-IMG/64.png)
Voir, et faire, aussi: autres exercices de calculs d'intégrales et primitives
Exercice 3
On considère la fonction ![$f$](Cours-IMG/1.png)
![$\R_+^*$](Cours-IMG/66.png)
![$f(x)=\dfrac{1}{x^2}\,e^{\frac{1}{x}}$](Cours-IMG/67.png)
![$n\geqslant1$](Cours-IMG/68.png)
![$\dsp I_n=\int_1^nf(x)\,dx$](Cours-IMG/69.png)
- Dresser le tableau de variation de
et tracer l'allure de sa courbe représentative.
Représenter sur ce graphique.
Les variations sont données par le signe de la dérivée. Iciavec
…
L'intégrale est, une fois l'allure de la courbe tracée, l'aire du domaine sous la courbe entre les abscisses donées par les bornes de l'intégrale.
- Calculer
pour tout entier, puis déterminer
La fonctiona intégrer est de la forme
…
Pour la suite on rappelle que
Propriété
La valeur moyenne d'une fonction continue (ou continue par morceaux)
définie sur ![$[a;b]$](Cours-IMG/105.png)
![\[\mu=\dfrac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx\]](Cours-IMG/106.png)
Exercice 4
Calculer la valeur moyenne des fonctions suivantes sur l'intervalle
![$I$](Cours-IMG/107.png)
a)
![$f:x\mapsto x^2$](Cours-IMG/108.png)
![$I=[-1;1]$](Cours-IMG/109.png)
Une primitive de
est
et donc
![\[\bgar{ll}\mu&=\dfrac1{1-(-1)}\dsp\int_{-1}^1f(x)dx\\[1.2em]
&=\dfrac12\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{-1}^1\\[1em]
&=\dfrac12\Bigl(F(1)-F(-1)\Bigr)\\[1em]
&=\dfrac12\lp\dfrac13\tm1^3-\dfrac13(-1)^3\rp\\[1em]
&=\dfrac13\enar\]](Cours-IMG/112.png)
![$f$](Cours-IMG/1.png)
![$F:x\mapsto\dfrac13x^3$](Cours-IMG/111.png)
![\[\bgar{ll}\mu&=\dfrac1{1-(-1)}\dsp\int_{-1}^1f(x)dx\\[1.2em]
&=\dfrac12\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{-1}^1\\[1em]
&=\dfrac12\Bigl(F(1)-F(-1)\Bigr)\\[1em]
&=\dfrac12\lp\dfrac13\tm1^3-\dfrac13(-1)^3\rp\\[1em]
&=\dfrac13\enar\]](Cours-IMG/112.png)
b)
![$f:x\mapsto x^3$](Cours-IMG/113.png)
![$I=[-1;1]$](Cours-IMG/114.png)
Une primitive de
est
et donc
Remarque: ce résultat était prévisible car la fonction cube est impaire, et donc, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère, et sa valeur moyenne sur un intervalle centré sur 0 est donc nulle.
![$f$](Cours-IMG/1.png)
![$F:x\mapsto\dfrac14x^4$](Cours-IMG/116.png)
![\[\bgar{ll}\mu&=\dfrac1{1-(-1)}\dsp\int_{-1}^1f(x)dx\\[1.2em]
&=\dfrac12\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{-1}^1\\[1em]
&=\dfrac12\Bigl(F(1)-F(-1)\Bigr)\\[1em]
&=\dfrac12\lp\dfrac14\tm1^4-\dfrac13(-1)^4\rp\\[1em]
&=0\enar\]](Cours-IMG/117.png)
Remarque: ce résultat était prévisible car la fonction cube est impaire, et donc, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère, et sa valeur moyenne sur un intervalle centré sur 0 est donc nulle.
c)
![$f:x\mapsto x\lp3x^2-1\rp^2$](Cours-IMG/118.png)
![$I=[-1;2]$](Cours-IMG/119.png)
En développant,
est un polynôme de degré 5, donc facile à intégrer.
Plus facilement ici, on remarque que
est de la forme
avec
, et donc que
est une primitive de
,
et alors
![\[\bgar{ll}\mu&=\dfrac1{2-(-1)}\dsp\int_{-1}^2f(x)\,dx\\[1em]
&=\dfrac13\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{-1}^2\\[1em]
&=\dfrac14\Bigl(F(2)-F(-1)\Bigr)\\[1em]
&=\dfrac13\lp\dfrac1{18}\lp3\tm2^2-1\rp^3-\dfrac1{18}\lp3\tm(-1)^2-1\rp^3\rp\\[1em]
&=24,5
\enar\]](Cours-IMG/126.png)
![$f$](Cours-IMG/1.png)
Plus facilement ici, on remarque que
![$f$](Cours-IMG/1.png)
![$u'u^2$](Cours-IMG/122.png)
![$u(x)=3x^2-1$](Cours-IMG/123.png)
![$F:x\mapsto\dfrac1{18}\lp3x^2-1\rp^3$](Cours-IMG/124.png)
![$f$](Cours-IMG/1.png)
![\[\bgar{ll}\mu&=\dfrac1{2-(-1)}\dsp\int_{-1}^2f(x)\,dx\\[1em]
&=\dfrac13\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{-1}^2\\[1em]
&=\dfrac14\Bigl(F(2)-F(-1)\Bigr)\\[1em]
&=\dfrac13\lp\dfrac1{18}\lp3\tm2^2-1\rp^3-\dfrac1{18}\lp3\tm(-1)^2-1\rp^3\rp\\[1em]
&=24,5
\enar\]](Cours-IMG/126.png)
d)
![$f:x\mapsto \dfrac{3}{2x+1}$](Cours-IMG/127.png)
![$I=[0;4]$](Cours-IMG/128.png)
![$f$](Cours-IMG/1.png)
![$\dfrac{u'}u$](Cours-IMG/130.png)
![$u(x)=2x+1$](Cours-IMG/131.png)
![$F:x\mapsto\dfrac32\ln(2x+1)$](Cours-IMG/132.png)
![$f$](Cours-IMG/1.png)
![\[\bgar{ll}\mu=&\dfrac1{4-0}\dsp\int_0^4f(x)\,dx\\[1em]
&=\dfrac14\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^4\\[1em]
&=\dfrac14\Bigl(F(4)-F(0)\Bigr)\\[1em]
&=\dfrac14\lp\dfrac32\ln(2\tm4+1)-\dfrac32\ln(2\tm0+1)\rp\\[1em]
&=\dfrac38\ln9=\dfrac34\ln3
\enar\]](Cours-IMG/134.png)
e)
![$f:x\mapsto \dfrac{x^2}{\lp8-x^3\rp^2}$](Cours-IMG/135.png)
![$I=[0;1]$](Cours-IMG/136.png)
![$f$](Cours-IMG/1.png)
![$\dfrac{u'}{u^2}$](Cours-IMG/138.png)
![$u(x)=8-x^3$](Cours-IMG/139.png)
![$F:x\mapsto\dfrac13\tm\dfrac1{8-x^3}$](Cours-IMG/140.png)
![$f$](Cours-IMG/1.png)
![\[\bgar{ll}\mu&=\dfrac1{1-0}\dsp\int_0^1f(x)\,dx\\[1em]
&=\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^1\\[1em]
&=F(1)-F(0)\\[1em]
&=\dfrac13\tm\dfrac1{8-1^3}-\dfrac13\tm\dfrac1{8-0^3}\\[1em]
&=\dfrac1{3\tm7\tm8}=\dfrac1{168}
\enar\]](Cours-IMG/142.png)
f)
![$g(x)=e^{-3x+1}$](Cours-IMG/143.png)
![$I=[-1;1]$](Cours-IMG/144.png)
![$f$](Cours-IMG/1.png)
![$u'e^u$](Cours-IMG/146.png)
![$u(x)=-3x+1$](Cours-IMG/147.png)
![$F:x\mapsto -\dfrac13e^{-3x+1}$](Cours-IMG/148.png)
![$f$](Cours-IMG/1.png)
![\[\bgar{ll}\mu&=\dfrac1{1-(-1)}\dsp\int_{-1}^1f(x)\,dx\\[1em]
&=\dfrac12\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{-1}^1\\[1em]
&=\dfrac12\Bigl(F(1)-F(-1)\Bigr)\\[1em]
&=\dfrac12\lp-\dfrac13e^{-2}+\dfrac13e^4\rp\\[1em]
&=\dfrac16\lp e^4-e^{-2}\rp
\enar\]](Cours-IMG/150.png)
Exercice 5
Dans un repère orthonormé, on considère le domaine ![$\mathcal{D}$](Cours-IMG/151.png)
![$y=\sqrt{x}$](Cours-IMG/152.png)
![$y=x^2$](Cours-IMG/153.png)
Déterminer l'aire du domaine
![$\mathcal{D}$](Cours-IMG/154.png)
(On pourra se rappeler que
![$\sqrt{x}=x^{1/2}$](Cours-IMG/155.png)
![$x^n$](Cours-IMG/156.png)
![\[\psset{unit=3cm,arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-.15,-.15)(1.15,1.25)
\nwc\f[1]{#1 0.5 exp}\nwc\g[1]{#1 #1 mul}
\pscustom{\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\f{x}}\gsave
\psplot[plotpoints=100]{1}{0}{\g{x}}\fill[fillstyle=solid,fillcolor=gray]\grestore}
\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\f{x}}
\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\g{x}}
\psline{->}(-0.1,0)(1.25,0)
\psline{->}(0,-0.1)(0,1.15)
\psline[linestyle=dashed](0,1)(1,1)(1,0)
\rput(-0.08,-0.08){$O$}
\rput(1,-0.08){$1$}\rput(-0.08,1){$1$}
\end{pspicture}\]](Cours-IMG/157.png)
Exercice 6
Calculer l'aire du domaine compris entre les courbes des fonctions
![$f$](Cours-IMG/1.png)
![$g$](Cours-IMG/171.png)
![$f(x)=x^2-4$](Cours-IMG/172.png)
![$g(x)=-\dfrac12x^2+2$](Cours-IMG/173.png)
![\[\psset{xunit=.7cm,yunit=.6cm,arrowsize=5pt,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-2.5,-4.2)(2.6,2.6)
\nwc\f[1]{#1 2 exp 4 sub}
\nwc\g[1]{#1 2 exp -.5 mul 2 add}
\pscustom{
\psplot{-2}{2}{\f{x}}\gsave
\psplot{2}{-2}{\g{x}}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
\grestore}
%
\psline{->}(-2.5,0)(2.7,0)
\psline{->}(0,-4.3)(0,2.7)
\psplot{-2}{2}{\f{x}}
\psplot{2}{-2}{\g{x}}
\end{pspicture}\]](Cours-IMG/174.png)
Exercice 7
Étude d'une suite (D'après Bac)
On considère la fonction
![$f$](Cours-IMG/1.png)
![$[0;1]$](Cours-IMG/184.png)
![$f(x)=e^{-x^2}$](Cours-IMG/185.png)
![$(u_n)$](Cours-IMG/186.png)
![\[u_0=\int_0^1 f(x)\,dx\]](Cours-IMG/187.png)
et, pour tout entier
![$n\geqslant1$](Cours-IMG/188.png)
![\[u_n=\int_0^1 x^n\,f(x)\,dx\]](Cours-IMG/189.png)
-
- Démontrer que, pour tout réel
de l'intervalle
, on a
.
Dresser le tableau de variation de, ou manipuler les encadrements à partir de
.
- En déduire que  
.
L'intégrale conserve l'ordre…
- Démontrer que, pour tout réel
- Calculer
.
Dérivée de?
-
- Démontrer que, pour tout entier naturel
, on a
.
Positivité de l'intégrale…
- Etudier les variations de la suite
.
En déduire que la suiteest convergente.
Signe de?
- Démontrer que, pour tout entier naturel
-
- Démontrer que, pour tout entier naturel
, on a
.
Utiliser la majoration detrouvée en 1. a), d'où
, et enfin comme l'intégrale conserve l'ordre…
- En déduire la limite de la suite
.
Encadrement de? Gendarmes ?!
- Démontrer que, pour tout entier naturel
Exercice 8
D'après Bac
On considère la suite numérique
![$(J_n)$](Cours-IMG/245.png)
![$n$](Cours-IMG/246.png)
![\[ J_n=\int_1^n e^{-t}\,\sqrt{1+t}\,dt\,.\]](Cours-IMG/247.png)
- Démontrer que la suite
est croissante.
Signe de?
- On définit la suite
, pour tout entier naturel
non nul, par:
- Justifier que, pour tout
, on a
.
On élève au carré ces nombres positifs…
- En déduire que
.
en multipliant parl'inégalité précédente, puis comme l'intégrale conserve l'ordre…
- Déterminer deux réels
et
tels que la fonction
soit une primitive de la fonction
.
Exprimer alorsen fonction de
.
Dériver la fonction proposée et identifier les coefficients.
- En déduire que la suite
est majorée par un nombre réel.
D'après les deux résultats précédents b) et c)…
- Que peut-on en conclure pour la suite
?
Suite croissante et majorée, questions 1) et 2.d)
- Justifier que, pour tout
Intégration par parties
Chapitre suivant: intégration par parties (IPP) pour le calcul d'intégralesVoir aussi: