Exercices 3: Etude d'une fonction rationnelle

Dérivée d'une fonction, déterminer le sens de variation

Exercice 3: dérivée et sens de variation 'une fonction rationnelle

1. Dresser le tableau de variation de f.
   
   C'est le signe de la dérivée de f qui nous donne son sens de variation.
   Ici f est la somme d'une fonction affine (que l'on dérive facilement) et de 2/x − 2 = 2 × 1/u(x) avec u(x) = x − 2 dont la dérivée est u'(x) = 1
   
   La dérivée de 1/u est −u'/u², et on trouve donc que:

   f' (x) = 2 + 2× −1/(x−2)² = 2 − 2/(x−2)²

   Pour pouvoir déterminer le signe de cette expression, on l'exprime sur un seul dénominateur:  

   f' (x) = 2(x−2)²/(x−2)² − 2/(x−2)²

   soit encore

   f' (x) = 2(x−2)²−2/(x−2)²

   d'où, en développant et ordoannant le numérateur

   f' (x) = 2x²−8x+6/(x−2)² = 2x² − 4x + 3/(x−2)²

   
   Le numérateur est un trinôme du second degré dont le discriminant est Δ = (−4)²−4×1×3 = 4 > 0 et qui admet donc deux racines x₁ = −(−4) − 4/2×1 = 1 et x₂ = −(−4) + 4/2×1 = 3
   On obtient alors le signe du trinôme, et donc de la dérivée, et enfin le sens de variation de f (on n'oublie pas non plus la valeur interdite…).
   
   

   x	−∞		1		2				3		+∞
   x2−4x+3		+	0	−				−	0	+
   (x−2)2		+	|	+				+	|	+
   f' (x)		+	0	−				−	0	+
   			1
   f		↗		↘				↘		↗
   									9

   
   
   
2. Déterminer l'équation des tangentes à C_f en x = 1 et x = 3.
   
   L'équation générale de la tangente en a est:

   y = f'(a)(x − a) + f(a)

   
   Aux abscisses a = 1 et a = 3 la dérivée est nulle: f'(1) = f'(1) = 0. Les tangentes y sont donc horizontales (coefficient directeur nul).
   Au point d'abscisse 1, la tangente a donc pour équation: y = f (1) = 1 et au point d'abscisse 3, la tangente a donc pour équation: y = f (3) = 9
   
   
   
3. Tracer l'allure de la courbe C_f.
   On n'oublie pas les tangentes horizontales en et