Exercice 2: Etude d'une fonction polynomiale du 3ème degré

Dérivée d'une fonction - Equation de tangentes

Exercice 2: dérivée et variation d'un polynôme de degré 3

1. Dresser le tableau de variation de f.
   
   C'est le signe de la dérivée de la fonction qui nous donne son sens de variation.
   La dérivée de f est f' (x) = 3x² − 12x −15 soit aussi, en factorisant f' (x) = 3(x² − 4x −5)
   Le trinôme du second degré a pour discriminant Δ=(−4)²−4×1×(−5)=36>0 et admet donc 2 racines: x₁ = −(−4) − 36/2×1 = −1 et de même x₂ = −(−4) + 36/2×1 = 5
   
   

   x	−3		−1		5		7
   f' (x)		+	0	−	0	+
   			12				−52
   f		↗		↘		↗
   	−32				−96

   
   
   
2. Déterminer l'équation de la tangente à C_f au point d'abscisse x = 1.
   
   L'équation générale de la tangente en est :
   On calcule alors: et
   d'où l'équation de la tangente:
   ou encore
   
   
   
3. Tracer cette tangente et la courbe C_f
   On trace cette droite tangente et on n'oublie pas la tangente horizontale en x = −1 (dérivée nulle)