Exercice 2: Etude d'une fonction polynomiale du 3ème degré

Dérivée d'une fonction - Equation de tangentes


Exercice 2


Exercice 2: dérivée et variation d'un polynôme de degré 3

On considère la fonction f (x) = x3 − 6x2 − 15x + 4 définie sur l'intervalle [ −3 ; 7]
On note Cf sa courbe représentative.

  1. Dresser le tableau de variation de f.
    C'est le signe de la dérivée de la fonction qui nous donne son sens de variation.
    La dérivée de f est f' (x) = 3x2 − 12x −15 soit aussi, en factorisant f' (x) = 3(x2 − 4x −5)
    Le trinôme du second degré a pour discriminant Δ=(−4)2−4×1×(−5)=36>0 et admet donc 2 racines: x1 = −(−4) − 36/2×1 = −1 et de même x2 = −(−4) + 36/2×1 = 5

    x−3−157
    f' (x) + 0 0 +
    12 −52
    f
    −32 −96


  2. Déterminer l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse x = 1.
    L'équation générale de la tangente en x=1 est : y=f'(1)(x-1)+f(1)
    On calcule alors: f(1)=-16 et f'(1)=-24
    d'où l'équation de la tangente:
    y=-24(x-1)+(-16) ou encore y=-24x+8


  3. Tracer cette tangente et la courbe Cf
    On trace cette droite tangente et on n'oublie pas la tangente horizontale en x = −1 (dérivée nulle)
    Représentation graphique de f et de ses tangentes

Exercice 2




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