Loi binomiale - Exercices

La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,15.

1. Donner les expressions et calculer P(X = 6), P(X = 15), Pa(X≤15) , P(X≥16) et P(13≤X≤17).
2. Préciser l'espérance et l'écart type de X.
3. Déterminer le plus petit entier a tel que P(X≤a) ≥ 0,95.
4. Calculer les probabilités P_(X≤10)(X = 9) et P_(X≥10)(X≤15).

Un élève répond au hasard aux 6 questions d'un QCM. À chaque question, 4 réponses sont proposées dont une seule est exacte.
On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de bonnes réponses.

1. Montrer que la loi de probabilité de X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer la probabilité que l'élève a d'avoir exactement 3 bonnes réponses.
3. Calculer la probabilité que l'élève a d'avoir au moins 3 bonnes réponses.
4. Calculer l'espérance mathématique de X et interpréter ce résultat.

Dans une ville de 50 000 habitants, on a recensé 1000 cas de grippe.
On s'intéresse au nombre d'enfants malades dans une crèche de 30 enfants.
On note X le nombre d'enfants atteints par la grippe et on modélise la loi de X par une loi binomiale.

1. Donner les paramètres de la loi binomiale suivie par X.
2. Calculer la probabilité des événements suivants:
   • A: " Deux enfants exactements sont malades "
   • B: " Il y a au moins un enfant malade "

Une étude statistique a montré qu'une mère qui possède un caractère génétique C le transmet à son enfant dans un cas sur dix. Une femme, qui possède ce caractère génétique C, souhaite fonder une famille de quatre enfants.
On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre d'enfants parmi les quatre présentant le caractère C.

1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X ?
2. Calculer la probabilité de l'événement: "Un enfant au moins présente le caractère C".
3. L'événement: "Deux enfants ou plus présentent le caractère C" est-il très improbable ?

Exercice 5     Loi binomiale ou non ?

Dans chacun des cas suivants, la variable aléatoire X suit-elle une loi binomiale ? Donner le cas échéant les valeurs de ses paramètres.

1. On lance 5 fois successivement un dé à jouer truqué, et on note X la variable aléatoire égale au nombre de 2 obtenus parmi ces lancers.
2. On lance 5 fois successivement un dé à jouer, et on note X la variable aléatoire égale au numéro du premier lancer pour lequel on obtient le chiffre 6.
3. On lance 10 fois successivement 2 dés à jouer, et on note X la variable aléatoire égale au nombre de fois où une somme de 10 est obtenue en ajoutant les chiffres des 2 dés.
4. Une branche présente 10 fleurs: 2 blanches et 8 roses. On cueille, successivement et au hasard, 3 fleurs et on note X la variable aléatoire égale au nombre de fleurs blanches cueillies.
5. On fait un sondage en interrogeant successivement 10 personnes dans un groupe de 20 personnes. On note X le nombre de personnes qui ont répondu "Oui".
6. Dans une population de 10 millions personnes, on fait un sondage en interrogeant successivement 100 personnes. On note X le nombre de personnes qui ont répondu "Oui".

Une machine produit des pièces dont, en moyenne, 5% sont défectueuses.
On prépare des lots en prélèvant au hasard 10 pièces dans la production. Le nombre de pièces dans le stock est assez important pour que l'on puisse considérer le tirage comme étant avec remise. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses sur nos 10 pièces prélevées.

1. Montrer que la loi de probabilité de X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer les probabilités des événements: P(X = 0), P(X = 1), et P(X≥3).

En france, il y a environ 12% de gauchers.
On considère une classe de 30 élèves, et on note X la variable aléatoire égale au nombre de gauchers dans cette classe.

1. Quelle est la loi de probabilité de X ? Préciser ses paramètres.
2. Combien d'élèves gauchers peut-on s'attendre à trouver dans la classe ?
3. Déterminer la probabilité qu'il y ait un seul gaucher dans la classe.
4. Calculer la probabilité qu'il y ait 2 gauchers ou plus dans la classe.
5. Déterminer le plus petit entier k tel que P(X≥k) ≥ 0,99. Interpréter ce nombre.

Exercice 8 Un homme se présente dans un village gaulois et se déclare devin.
Les habitant sceptiques se proposent de tester ses dons en lui demandant de deviner les résultats de 10 lancers d'une pièce équlibrée.
Il donne 8 fois la bonne réponse.

1. On suppose que les réponses du devin sont données au hasard.
   Calculer dans ce cas la probabilité qu'il donne 8 fois la bonne réponse.
2. Les habitants du village (experts bien sûr en probabilité) seront-ils enclins à croire ce devin ?

Exercice 9 Pour contrôler des lots d'articles on procède de la manière suivante: on prélève un article au hasard dans le lot, s'il est défectueux le lot est déclaré mauvais, sinon on en prélève un deuxième. S'il est défectueux on déclare le lot mauvais, sinon on en prélève un troisième. S'il est défectueux on déclare le lot mauvais, sinon on accepte le lot.
On note p la proportion d'articles défecteux et on considère que le nombre important d'articles permet de d'assimiler le tirage à un tirage avec remise.

1. Déterminer en fonction de p la probabilité de refuser le lot.
2. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre d'articles prélevés. Donner la loi de probabilité de Y, puis déterminer l'espérance de Y.
3. Comparer ces résultats à ceux que l'on aurait obtenus en prélevant directement trois articles et en refusant le lot si au moins l'un de ces articles était défectueux.

Exercice 10 Dans une population de grand effectif, on a observé que 5% des individus sont allergiques au médicament A et 40% sont allergiques au médicament B.
Ces allergies sont détectées par des tests effectués en laboratoire et ce de façcon indépendante. On examine un échantillon de n analyses choisies au hasard. On note X la variable aléatoire qui associe à n analyses le nombre d'individus allergiques à A qu'elles révèlent.

1. Quelle est la loi de probabilité de X ?
2. On suppose que n = 10. Calculer à 10^-2 près les probabilités de chacun des événements suivants:
   1. aucune analyse ne révèle l'allergie à A;
   2. au moins deux analyses révèlent l'allergie à A.
3. Un organisme tiers établit que 2% des individus sont allergiques à A et à B simultanément. Peut-on en conclure que les événements "être allergique à A" et "êetre allergique à B" sont indépendants ?
4. On considère la variable aléatoire Y qui suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,4.
   1. Déterminer le plus petit entier a tel que P(Y≤a) > 0,025 et le plus petit entier b tel que P(Y≤b) ≥ 0,95.
   2. En déduire un intervalle I tel que P(Y ∈ I) ≥ 0,95.
   3. Dans un échantillon de 100 analyses, on a observé que 30 individus révèlent l'allergie B. Que peut-on en conclure ?