Écrire une fraction sans racine carrée au dénominateur

Exercices corrigés et détaillés

Position du problème

On considère une fraction qui contient, au dénominateur (en bas), une ou plusieurs racines carrées.
Par exemple, les fractions a = 63 ou b = 23+5 ou encore c = 135 − 3
On cherche, tout naturellement, à simplifier ces fractions. Une expression plus simple de ces fractions, notamment si on doit s'en servir dans d'autres calculs (les ajouter à d'autres nombres, d'autres fractions, …) s'écrit comme un fraction, ou division, par une expression ne contenant pas de racine carrée.
En d'autres termes, pour simplifier ces fractions, on cherche à les écrire sans racine carrée au dénominateur.
On distingue deux cas, suivant que le dénominateur est un seul terme (un monôme) ou d'une addition de deux termes (un binôme).

Cas #1: le dénominateur est un monôme contenant une racine carrée

On multiplie dans ce cas, numérateur et dénominateur, par la racine carrée.
On utilise alors la propriété, a ² = a pour tout nombre réel positif a

Exemple: a = 63

On multiplie numérateur et dénominateur par la racine carrée:

a = 63 × 33

et on utilise le fait que 3×3 = 3 ² = 3
et donc,

a = 633

qui se simplifie même encore en a = 23

Cas #2: le dénominateur est un binôme contenant une racine carrée

On multiplie dans ce cas, numérateur et dénominateur, par l'expression du dénominateur dans laquelle on a changé le signe.
On utilise alors la " 3^ème identité remarquable "

(a − b)(a + b) = a² − b²

et a ² = a pour tout nombre réel positif a.
L'expression par laquelle on multiplie s'appelle l'expression conjuguée. Par exemple, l'expression conjuguée de 2+2 est 2−2, et on a alors le produit:

(2+2)×(2−2) = 2² − 2 ² = 4 − 2 = 2

Exemple b = 23+5 L'expression conjuguée du dénominateur est 3 − 5.
On l'utilise en multipliant notre fraction, numérateur et dénominateur, par cette expression conjuguée:

b = 23+5×3−53−5

L'identité remarquable annoncée est le produit des dénominateurs, et on obtient

b = 2(3−5)3²−5 ²

d'où

b = 2(3−5)4

On peut encore un peu simplifier cette fraction pour obtenir finalement

b = 3−52

Pour mener à bien ces calculs, on utilise des propriétés algébriques des racines carrées et des fractions, et principalement une identité remarquable qu'on rappelle maintenant:

Propriétés algébriques sur les racines carrées

Il faut tout d'abord bien connaître les règles de calcul algébrique sur les fractions, les racines carrées, ainsi que les identités remarquables.

Propriétés: règles de calcul algébrique

Tout d'abord, pour tout nombre réel positif a, on a

a ² = a et a² = a

De plus, pour les produits:

a×b = a×b

Enfin, on utilisera les identités remarquables, particulièrement la "3^ème identité":

(a−b)(a+b) = a² − b²

car elle a l'avantage, dans sa partie développée, de ne contenir que des carrés et pourra donc être utilisée pour "enlever" les racines carrées.

Exercices corrigés: calculs avec des fractions et racines carrées

Simplifier les expressions suivantes: écrire les expressions sous la forme d'une seule fraction irréductible, et fraction sans racine carrée au dénominateur.

a = 723
a = 736
On multiplie numérateur et dénominateur par la racine:
a = 723 × 33
et on utilise le fait que 3×3 = 3 ² = 3
et donc,
a = 732×3
d'où le résultat final
a = 736
b = 1437
b = 273
On multiplie numérateur et dénominateur par la racine du dénominateur:
b = 1437 × 77
et on utilise le fait que 7×7 = 7 ² = 7
et donc,
b = 1473×7
qui se simplifie
b = 7×2×73×7 = 273
c = 12 + 5
c = −2 + 5
On multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée:
c = 12 + 5 × 2 − 52 − 5
Au dénominateur, on utilise l'identité remarquable (a+b)(a−b) = a²−b² soit ici
c = 2 − 52² − 5² = 2 − 54 − 5
soit donc
c = 2 − 5−1
ou encore, en mulitpliant haut et bas (numérateur et dénominateur) par −1:
c = − 2 + 51 = − 2 + 5
d = 2 + 101 + 10
d = 8 + 109
On multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur:
d = 2 + 101 + 10 × 1 − 101 − 10
Au dénominateur, on utilise l'identité remarquable (a+b)(a−b) = a²−b² soit ici
d = (2 + 10)(1 − 10)1² − 10²
Le dénominateur vaut donc simplement, maintenant, 1−10 = −9 et il reste à développer le numérateur en distribuant, soit donc
d = 2 − 210 + 10 − 10 ²−9
et donc
d = 2 − 10 − 10−9 = −8 − 10−9
On peut encore simplifier l'écriture, tous ces signes moins, en multipliant haut et bas (numérateur et dénominateur) par −1, pour obtenir finalement
d = 8 + 109
e = 32 + 3
e = −32 + 33
On multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur:
e = 32+3 × 2−32−3
Au dénominateur, on utilise l'identité remarquable (a+b)(a−b) = a²−b² soit ici
e = 3(2−3)2 ² − 3²
soit aussi, comme a ² = a pour un nombre positif a,
e = 32 − 33−1
On peut encore simplifier l'écriture en multipliant haut et bas (numérateur et dénominateur) par −1 pour obtenir
e = −32 + 33
f = 2 − 52 + 5
f = 7 − 210−3
On multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur:
f = 2 − 52 + 5 × 2 − 52 − 5
On a alors deux identités remarquables: (a−b)² = a²−2ab+b² au numérateur et l'identité maintenant habituelle (a+b)(a−b) = a²−b² soit ici
f = 2² − 225 + 5² 2² − 5²
d'où
f = 2 − 210 + 52 − 5
soit encore
f = 7 − 210−3
g = 25 − 2
g = 10 + 2223
On multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée:
g = 25 − 2 × 5 + 25 + 2
Au dénominateur, on utilise l'identité remarquable (a+b)(a−b) = a²−b² soit ici
g = 2(5 + 2)5² − 2² = 10 + 2223
h = 342 − 3
h = 122 + 923
On multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée:
h = 342 − 3 × 42+342+3
et donc, avec l'identité remarquable habituelle:
h = 3(42+3) (42)² − 3²
Maintenant, on calcule soigneusement
(42)² = (42)×(42) = 4×2×4×2 = 16×2=32
et donc, en revenant à g
h = 122 + 923
i = 2 + 32 − 3
i = 7 + 43
On multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur:
i = 2 + 32 − 3 × 2 + 32 + 3
On a alors deux identités remarquables: (a+b)² = a²+2ab+b² au numérateur et l'identité habituelle (a+b)(a−b) = a²−b² soit ici
i = 2² + 2×23 + 3² 2² − 3²
d'où
i = 4 + 43 + 34 − 3
soit encore
i = 7 + 431
et l'écriture de la fraction est inutile (division par 1…)
i = 7 + 43
j = 1 − 22 − 3
j = − 2 − 3 + 2 + 6
On multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur:
j = 1 − 22 − 3 × 2 + 32 + 3
On développe alors le numérateur (double distributivité) et le dénominateur avec l'identité remarquable habituelle
j = 2 + 3 − 2² − 23 2² − 3²
soit encore
j = 2 + 3 − 2 − 6 −1
On peut alors, pour finir de simplifier, tout multiplier, haut et bas (numérateur et dénominateur) par −1, et éviter alors d'écrire la fraction sur 1:
j = − 2 − 3 + 2 + 6
k = 12 − 2 + 12 + 2
k = 2
Il y a là deux opérations à effectuer: ajouter les fractions en les mettant sur le même dénominateur, et écrire les fractions sans racine carrée au dénominateur.
Écrire les fractions sans racine carré au dénominateur permet de les simplifier: autant donc commencer par là ! ajouter les deux sera alors plus simple…
On mulitplie chaque fraction par l'expression conjuguée de son dénominateur:
k = 12 − 2 × 2 + 22 + 2 + 12 + 2 × 2 − 22 − 2
soit avec l'identité remarquable habituelle, pour chaque fraction,
k = 2 + 22² − 2² + 2 − 22² − 2²
soit encore
k = 2 + 22 + 2 − 22
On peut maintenant ajouter directement ces deux fractions qui ont le même dénominateur
k = 42 = 2
l = 12 − 2 + 33
l = 2 + 2 −23−2
Comme dans le calcul de la question précédente, il y a là deux opérations à effectuer: ajouter les fractions en les mettant sur le même dénominateur, et écrire les fractions sans racine carrée au dénominateur.
Écrire les fractions sans racine carré au dénominateur permet de les simplifier: autant donc commencer par là ! ajouter les deux sera alors plus simple…
On s'occupe donc tout d'abord de chaque fraction séparemment
l = 12 − 2 × 2+22+2 + 33 × 33
soit avec l'identité remarquable habituelle, pour chaque fraction,
l = 2 + 22² − 2² + 333²
soit encore
l = 2 + 2−2 + 333
La dernière fraction se simplifie directement, et il reste à mettre sur le même dénominateur:
l = 2 + 2−2 + −23−2
soit
l = 2 + 2 −23−2
m = 3x2 − 2x3
m = x66
On met sur le même dénominateur
m = 3x2×33 − 2x3×22
soit
m = 3x−2x23
ou encore
m = x6
On enlève enfin la racine carrée du dénominateur:
m = x6×66 = x66
n = 1 − 3x + 2
n = x − 3x + 2x − 4
On s'occupe d'abord par exemple de la racine carrée dans la fraction:
n = 1 − 3x + 2×x − 2x − 2
donc
n = 1 − 3(x − 2)x − 4
puis, sur le même dénominateur
n = x−4x−4 − 3(x − 2)x − 4
soit
n = x − 4 − 3(x − 2)x − 4
et donc enfin, en développant le numérateur,
n = x − 3x + 2x − 4
p = x+1+xx+1−x
p = 2x + 1 + 2(x+1)x
On multiplie comme d'habitude par l'expression conjuguée:
p = x+1+xx+1−x×x+1+xx+1+x
On a alors deux identités remarquables: (a+b)² = a²+2ab+b² au numérateur et l'identité maintenant habituelle (a−b)(a+b) = a²−b² soit ici
p = x+1 ² + 2x+1x + x ²x+1 ² −x ²
et donc, en utilisant maintes fois que a ² = a,
p = x+1 + 2x+1x + xx+1 − x
soit encore
p = 2x + 1 + 2(x+1)x1
et on peut se passer de la division par 1 pour écrire finalement
p = 2x + 1 + 2(x+1)x

Voir aussi: