Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Proportions, fonctions (graphique)

Première STG

Proportions, fonctions (graphique)

Devoir corrigé de mathématiques: fonctions (graphique), pourcentages et proportions
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Type: Corrigé de devoir
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Description
Devoir corrigé de mathématiques: fonctions (graphique), pourcentages et proportions
Niveau
Première STG
Mots clé
fonction, courbe, graphique, pourcentage, proportion, devoir de mathématiques, devoir corrigé, 1STG, STMG, maths

Sujet du devoir

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Source Latex 

\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}

\usepackage{array}
\usepackage{color}
\usepackage{tabularx}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\scp}[1]{\scriptstyle#1}
\nwc{\scpp}[1]{\scriptscriptstyle#1}
\nwc{\scps}[1]{\scriptsize#1}


\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\nwc{\tm}{\times}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1.2cm
\evensidemargin=0cm


\setlength{\unitlength}{1cm}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{empty}

\vspace*{-3cm}
\hfill{\Large{Devoir surveill�}}
\hfill $1^{\mbox{\scps{�re}}}$ STG
\vspace{.2cm}

%\vspace{5cm}

\bgex

\bgit
\item[1)] Le pourcentage (ou proportion) d'hommes dans l'assembl�e est
  $\dsp\frac{37}{66+37}\sim 0,359 = 35,9\,\%$. 

  \vsp
\item[2)] La masse de lipides est : 
  $\dsp 326\tm 35,6\,\%=326\tm\frac{35,6}{100}=116,056$ g. 

  \vsp
\item[3)] Apr�s la premi�re augmentation, l'article vaut : 
  $30 + 30\tm 30\,\% = 39$ euros. 
  Apr�s la baisse cons�cutive, il vaut alors 
  $39 - 39\tm20\,\%=31,2$ euros. 

\enit
\enex

\bgex
On note $E$ la population des 500 appareils inspect�s, et $A$, $B$ et
$C$ les sous-populations d'appareils ayant respectivement les d�fauts
$a$, $b$, et $c$. 

Les donn�es de l'�nonc� s'�crivent alors: 
$p_A=\frac{25}{500}=0,05=5\,\%$, $p_B=\frac{19}{500}=0,038=3,8\,\%$, 
$p_C=\frac{12}{500}=0,024\,\%$, et 
$p_{A\cap B}=\frac{5}{500}=0,01\,\%$


\vspd
\bgit
\item[1)] Le pourcentage d'appareils inspect�s qui sont
  d�fectueux est $p_{A\cap B\cap C}=\frac{25+19+12}{500}=0,012=1,2\,\%$.  
\item[2)] Le pourcentage d'appareils inspect�s ayant le
  d�faut $a$ ou $b$ est : 

  $p_{A\cap B}=p_A+p_B-p_{A\cup B}=0,05+0,038-0,01=0,078=7,8\,\%$. 

\item[3)] Il n'y a pas d'appareil ayant le d�faut $b$ et $c$: les deux
  sous-populations $B$ et $C$ sont disjointes, $B\cap C=\emptyset$, et
  on a alors, 
  $p_{B\cup C}=p_B+p_C=0,038+0,024=0,062=6,2\,\%$.

\enit
\enex


%\clearpage
\bgex


\vspace{-0.2cm}

\hspace*{-0.8cm}
\parbox{9cm}{
{\bf Partie A}
\vsp
\bgit
\item[1.] 
\bgit
\item[(a)] Le co�t de fabrication de 40 litres est d'environ 250
  euros, tandis que celui de 90 litres est d'environ 725 euros. 

\vsp
\item[(b)] Un production journali�re de environ 72 litres correspond �
  un co�t de fabrication de 525 euros. 

%\vspd
%\item[(c)] Quelle est la production journali�re maximale pour que le
%  co�t de fabrication n'exc�de pas 400 euros ?
\enit

\vspd
\item[2.] Pour �tre b�n�fiaciaire si le chiffre d'affaire $g(x)=7,5x$
  est sup�rieur au co�t de fabrication, c'est-�-dire si la droite
  d'�quation $y=7,5x$ est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}$. 

  Graphiquement, on trouve que l'entreprise doit produire entre 20 et
  80 litres de produit. 
\enit
}
\parbox{7cm}{
\psset{xunit=0.08cm,yunit=0.01cm}
\begin{pspicture}(-20,0)(100,900)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-12,0)(105,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-60)(0,950)

\psplot[linewidth=0.8pt]{0}{100}{
  0.0625 x mul x mul 1.25 x mul add 100 add
}
\psplot[linewidth=0.8pt]{0}{100}{7.5 x mul}
\multido{\n=-10+10}{12}{
  \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dotted](\n,-60)(\n,950)
}
\multido{\n=0+20}{6}{
  \psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](\n,-60)(\n,950)
  \rput(\n,-30){\n}
}
\multido{\n=-50+50}{20}{
  \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dotted](-10,\n)(100,\n)
}
\multido{\n=0+100}{10}{
  \psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](-10,\n)(100,\n)
  \rput(-5,\n){\n}
}

%\put(-1,8.2){B�n�fices (millier d'euros)}
%\put(2,-1){Quantit� de produit vendue}
%\put(3,-1.5){(millier d'hectolitres)}
\end{pspicture}
}

\vspq
{\bf Partie B}
\vspd

\bgit
\item[1.] Pour $x$ litres de produit fabriqu�s, le b�n�fice $B(x)$ est
  �gal � la diff�rence entre les gains, donn�s 
  par $g(x)$, et les co�ts de production, donn�s par $f(x)$, 

  soit 
  $B(x)=g(x)-f(x)=7,5x-(0,0625x^2 + 1,25x + 100)
       =-0,0625x^2+6,25x-100$. 
       

  Or, 
  $56,25 - 0,0625(x - 50)^2=56,25-0,0625(x^2-100x+2500)
  =-0,0625x^2+6,25x-100$. 

  Ainsi, on a bien, $B(x)=56,25 - 0,0625(x - 50)^2$. 


\vsp
\item[2.] Comme, pour tout nombre $x$, $(x-50)^2\geq 0$, 
  $B(x)\leq 56,25$. 

  Ainsi, le b�n�fice est toujours plus petit que $56,25$ euros. 
  Or, pour $x=50$ litres le b�n�fice est $B(x)=56,25$ euros. 

  \vsp
  On en d�duit que le b�n�fice maximal que l'entreprise peut
  r�aliser est de $56,25$ euros, et il est atteint pour une production
  journali�re de $50$ litres. 
\enit

\enex



\end{document}

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