Source Latex
de la correction du devoir
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% %
% Generateur automatique de devoir, %
% par Y. Morel %
% https://xymaths.fr %
% %
% Genere le:mercredi 19 octobre 2011 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
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\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{\TITLE}}
\bgex
\bgit
\item[a)] Pour tout $x\not=1$,
\[\bgar{ll}
2+\dfrac{3}{x+1}
&=\dfrac{2(x+1)}{x+1}+\dfrac{3}{x+1}\vspd\\
&=\dfrac{2x+2+3}{x+1}\vspd\\
&=\dfrac{2x+5}{x+1}\vspd\\
&=f(x)
\enar\]
On a donc bien, pour tout $x\not=1$, $f(x)=2+\dfrac{3}{x+1}$.
\vspd
\item[b)] Soit la fonction affine $u:x\mapsto x+1$.
$u$ est croissante sur $\R$,
et $\dfrac{1}{u}$ est donc d\'ecroissante sur $]-\infty\,;\,-1[$ et
sur $]-1\,;\,+\infty[$.
La fonction $\dfrac{3}{u}=3\tm\dfrac{1}{u}$ a donc aussi le m\^eme
sens de variation, de m\^eme que la fonction $f=2+\dfrac{3}{u}$.
\vsp
Ainsi, $f$ est d\'ecroissante sur $]-\infty\,;\,-1[$ et
sur $]-1\,;\,+\infty[$.
\enit
\enex
\bgex
L'expression $f(x)$ est d\'efinie pour des valeurs de $x$ telles que
$x^2-3\not=0$, soit $x\not=-\sqrt{3}$ et $x\not=-\sqrt{3}$.
Ainsi, l'ensemble de d\'efinition de $f$ est
$\mathcal{D}_f=\R\setminus\la -\sqrt{3};\sqrt{3}\ra
=]-\infty;-\sqrt{3}[\cup]-\sqrt{3};\sqrt{3}[\cup]\sqrt{3};+\infty[$.
\vspd
Soit $u:x\mapsto x^2$ la fonction carr\'e.
\[
\begin{tabular}{|c|cccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-\sqrt{3}$ && $0$ && $\sqrt{3}$ && $+\infty$& \\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$u$} &&
\psline{->}(-0.6,0.6)(0.6,0.3)&
\rput(0.,0.3){$3$}&&
\psline{->}(-1.1,0.3)(-0.1,0.)&
\rput(-0.5,-0.){$0$}&
\psline{->}(-1.1,0.)(-0.1,0.3)
\rput(0.,0.3){$3$}&
\psline{->}(-0.5,0.3)(0.7,0.6)&&
\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$u-3$}&&
\psline{->}(-0.6,0.6)(0.6,0.3)&
\rput(0.,0.3){$0$}&&
\psline{->}(-1.1,0.3)(-0.2,0.)&
\rput(-0.5,-0.){$-3$}&
\psline{->}(-1.,0.)(-0.1,0.3)
\rput(0.,0.3){$0$}&
\psline{->}(-0.5,0.3)(0.7,0.6)&&
\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$\dfrac{1}{u-3}$}&&
\psline{->}(-0.8,0.)(0.6,0.6)&
\psline(0,0.8)(0,-0.1)\psline(0.06,0.8)(0.06,-0.1)&&
\psline{->}(-1,0.)(-0.3,0.5)&
\rput(-0.6,0.5){$-\frac{1}{3}$}&
\psline{->}(-0.9,0.5)(-0.3,0.)
\psline(0,0.8)(0,-0.1)\psline(0.06,0.8)(0.06,-0.1)&&
\psline{->}(-0.8,0.6)(0.6,0.)&
\\\hline
\end{tabular}
\]
\enex
\bgex
\bgit
\item[a)] $2x^2-3x=x^2-2x+6 \Longleftrightarrow x^2-x-6=0$.
$x_1=-2$ est solution, et comme $x_1x_2=-6$, $x_2=3$ est aussi
solution, d'o\`u
\ul{$\mathcal{S}=\la -2;3\ra$}.
\vspd
\item[b)] $(E) : x^4+x^2-12=0$.\
Soit $x$ une solution \'eventuelle de $(E)$, et $X=x^2$,
alors $X$ est solution de l'\'equation $(E') : X^2+X-12=0$.
Cette \'equation admet pour solutions $X_1=3$ et $X_2=-4$. \vsp
Ainsi, si $x$ est une solution de (E), alors $x^2=3$ ou $x^2=-4$.
La premi\`ere possibilit\'e nous donne $x=-\sqrt{3}$ ou $x=\sqrt{3}$,
tandis que la deuxi\`eme est impossible.
\vsp
R\'eciproquement, on v\'erifie bien que $\sqrt{3}$ et $\sqrt{-3}$ sont
solutions de (E), d'o\`u \ul{$\mathcal{S}=\la -\sqrt{3},\sqrt{3}\ra$}.
\vspd
\item[c)] $(E) : x^4-11x^2+28=0$.\
De m\^eme que pr\'ec\'edemment, si $x$ est solution de $(E)$,
on pose $X=x^2$. Alors $X$ est solution de $(E') : X^2-11X+28=0$.
Cette \'equation du second degr\'e a pour discriminant $\Delta=9$ et
admet donc les deux solutions r\'eelles distinctes: $X_1=4$ et
$X_2=7$. \vsp
Ainsi, si $x$ est solution de $(E)$, alors $x^2=4$ ou $x^2=7$,
d'o\`u, $x=-2$ ou $x=2$ ou $x=\sqrt{7}$ ou $x=-\sqrt{7}$.
\vspd
R\'eciproquement, on v\'erifie bien que ces valeurs sont solutions de
$(E)$, et donc \ul{$\mathcal{S}=\la -\sqrt{7};-2;2;\sqrt{7}\ra$}.
\item[d)] $(E) : \dsp2x-\frac{4}{x}-7=0$.\
$x=0$ n'est pas solution de cette \'equation; on peut donc multiplier
chaque membre par $x$, et ainsi
$(E) \Longleftrightarrow 2x^2-7x-4=0$.
Cette \'equation du second degr\'e a pour discriminant $\Delta=81$, et
donc pour solution \ul{$\mathcal{S}=\la -\frac{1}{2};4\ra$}.
\vspd
\item[e)] $x^2-9x\geq 90 \Longleftrightarrow x^2-9x-90\geq 0$.
Le discriminant de ce trin\^ome est $\Delta=441$, et ses deux racines
sont $x_1=-15$ et $x_2=6$. Ce trin\^ome est donc positif ou nul pour
\ul{$x\in ]-\infty;-15] \cup [6;+\infty[$}.
\vspd
\enit
\enex
\bgex
\bgen
\item $P(10)=-0,4\tm10^3+12\tm10^2-30\tm10-500=0$.
On \'en d\'eduit que $10$ est bien une racine du polyn\^ome $P$.
\item D'apr\`es la question pr\'ec\'edente, on sait que le polyn\^ome $P$ se
factorise suivant: \
$P(x)=(x-10)Q(x)$, o\`u $Q(x)$ est un polyn\^ome de degr\'e 2:
$Q(x)=ax^2+bx+c$.
On a donc,
$P(x)=(x-10)(ax^2+bx+c)
=ax^3+(-10a+b)x^2+(-10b+c)x-10c
$, d'o\`u on d\'eduit que
$\la\bgar{rl} a&=-0,4\\ -10a+b&=12\\ -10b+c&=-30 \\ -10c&=-500\enar\right.$,
soit donc,
$a=-0,4$, $b=8$ et $c=50$.
On trouve donc la factorisation:
$P(x)=(x-10)(-0,4x^2+8x+50)$.
\item $P(x)=0\iff (x-10)(-0,4x^2+8x+50)=0$,
et donc, soit $x-10=0\iff x=10$,
soit
$-0,4x^2+8x+50=0$:
$\Delta=64-4\tm(-0,4)\tm50=144=12^2>0$.
Le trin\^ome admet donc deux solutions:
$x_1=\dfrac{-8-12}{2\tm(-0,4)}=25$ et
$x_2=\dfrac{-8+12}{2\tm(-0,4)}=-10$.
Ainsi l'ensemble des solutions est
$\mathcal{S}=\la -10\,;\,10\,;\,25\ra$.
\item On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles $P(x)\geqslant0$,
soit aussi,
$(x-10)(-0,4x^2+8x+50)\geqslant0$:
\bgmp{11cm}\hspace{-1.5cm}
\[
\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}\hline
$x$ & $-\infty$ & &$-10$& &$10$& &$25$& &$+\infty$ \\\hline
$x-10$& &-& $|$ &-& \zb &+&$|$&+&\\\hline
$-0,4x^2+8x+50$& &-& \zb&+& $|$ &+&\zb&-&\\\hline
$f(x)$& &+& \zb&-& \zb &+&\zb&-& \\\hline
\end{tabular}
\]
\enmp\hspace{0.2cm}
\bgmp{8cm}
On a alors,
\ul{$P(x)\geqslant0 \Longleftrightarrow
x\in]-\infty;-10]\cup[10;25]$}.
\enmp
\enen
\enex
\bgex
\bgit
\item[1)] La parabole coupe la droite $(\mathcal{D}_p)$ aux \'eventuels
points d'abscisse $x$ tel que $f(x)=x+p$,
soit $9x^2+3x+1=x+p$, ou encore $9x^2+2x+1-p=0$.
Le discriminant de cette \'equation du second degr\'e est :
$\Delta=4-4\tm9\tm(1-p)=4(-8+9p)$.
La parabole coupe cette droite en un seul point si et seulement si
$\Delta=0$, soit $-8+9p=0$, et donc si et seulement si
\ul{$p=\frac{8}{9}$}.
La parabole coupe cette droite en deux points distincts si et
seulement si $\Delta>0$, c'est-\`a-dire si et seulement si
\ul{$p>\frac{8}{9}$}.
\vspd
\item[2)] La parabole coupe la droite $(\Delta_m)$ aux \'eventuels
points d'abscisse $x$ tel que $f(x)=mx$,
soit $9x^2+3x+1=mx$, ou encore $9x^2+(3-m)x+1=0$.
La parabole coupe cette droite en un unique point si et seulement si
le discriminant de cette \'equation est nul:
$\Delta=(3-m)^2-4\tm9=0$, soit $m^2-6m+9-36=m^2-6m-27=0$.
Le discriminant de cette derni\`ere \'equation est
$\Delta'=36+4\tm27=144=12^2$. Elle admet donc deux solutions r\'eelles
distinctes $m=\frac{6-12}{2}=-3$ et
$m=\frac{6+12}{2}=9$.
Finalement, la parabole coupe $(\Delta_m)$ en un seul point pour
\ul{$m=-3$} et \ul{$m=9$}.
\enit
\enex
\end{document}
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